Đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007 môn : toán. lớp 7

đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007
Môn : toán. Lớp 7
Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1( 2 điểm) : Cho 6 số nguyên dương a<b<c<d<m<n
Chứng minh rằng : 
Câu 2 ( 1,5 điểm) : Không dùng bảng số hay máy tính, hảy so sánh :
 Với 
Câu 3 ( 1,5 điểm ) :
Tìm x, y, z biết : và xyz = 20
Câu 4 ( 2,5 điểm ) :
Cho đa thức f(x) = x2 + 4x – 5
a/ Số –5 có phải là nghiệm của đa thức f(x) không ?
b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x).
Câu 5 ( 3,5 điểm ) :
Cho DABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau.
a/ C/m rằng : DABC là tam giác vuông
b/ C/m : DABM là tam giác đều.
Đáp án và biểu điểm
Môn : toán 7
Câu 1 : ta có : a 2a 2c < c + d
m 2m < m + n
Suy ra : 2(a + c + m) < ( a + b +c + d + m + n)
Do đó : 
Câu 2 :
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) => < 
Câu 3 :
Ta đặt : = k
Suy ra : x = 12k; y = 9k; z = 5k
Vì xyz = 20 nên 12k.9k.5k = 20
540 k3 = 20 => k3 = => k = 
Vậy x = 12
Câu 4 :
a/ Thay –5 vào f(x) = x2 +4x – 5 ta có
f(-5) = (-5)2 + 4.(-5) – 5
= 25 – 20 –5 = 0
Vậy số –5 là nghiệm của đa thức f(x)
b/ f(x) = x2 + 4x –5 = x2 – x + 5x – 5
= x( x - 1) + 5(x – 1)
= (x – 1) (x + 5)
f(x) = 0 (x – 1) (x + 5) = 0
Vậy tập hợp các nghiệm của f(x) là S = {1;-5 }
Câu 5 :
	B
	H
	M
	A	I	C
a/ Chứng minh : DABC là tam giác vuông :
Vẻ MI ^ AC ; ta có : DMAI = DMAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra : DABH = DAMH (g – c – g)
Suy ra : BH = MH = BH = CM
Nên : góc C = 30 ; góc HAC = 60
góc BAC = 
Vậy DABC vuông tại A.
b/ Ta có : 
Vì : góc C = 30 nên góc B = 60 ; AM = BM = BC ( t/c đường trung tuyến – cạnh huyền)
=> DABM cân, có một góc bằng 60
Vậy DABM là tam giác đều