Đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007 môn : toán. lớp 8

đề thi học sinh giỏi năm học 2006 – 2007
Môn : toán. Lớp 8
Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng :
 1- 
Câu 2 ( 2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu a + b + c = ab + bc + ca thì 
a = b = c
Câu 3 ( 2 điểm ) : phân tích thành nhân tử 
 A = a + b + c – 3abc
Câu 4 ( 2 điểm ) : Hai chiếc xe máy cùng khởi hành một lúc tư hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại A ngay, xe thứ hai đi từ B đến A rồi củng quay lại B ngay. Hai xe gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A là 10km. Tính quảng đường AB biết rằng vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai tỉ lệ với .
Câu 5 ( 2 điểm ) : Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O và song song với hai đáy, cắt AD ở E và cắt BC ở F. Chứng minh OE = OF.
Đáp án và biểu điểm
Môn : toán 8
Câu 1 : 2 điểm
Xét vế phải, ta thấy có tổng của n số nghịch đảo từ đến , đó chính là hiệu giữa tổng của 2n số nghịch đảo đầu tiên và tổng của n số nghịch đảo đầu tiên.
Nếu đặt : S
S (0,5 điểm)
thì vế phải chính là S- S ( 0,5 điểm)
Còn vế trái khi đó là :
 (0,5 điểm)
 = S- () 
 = S- S ( 0,5 điểm)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 2 : 2 điểm
Theo giả thiết, ta có :
a2+b2+c2 – ab – bc – ca = 0 (0,25 điểm)
Nhân 2 vế với 2 và nhóm các số hạng lại ta được :
(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0
hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ( 1 điểm)
Vế trái là tổng của 3 số bình phương chỉ bằng 0 khi từng hạng tử bằng 0 tức là 
a = b = c (đpcm) (0,75 điểm)
Câu 3 : 2 điểm
Dùng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b), ta có:
a + b + c – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Câu 4 : 2 điểm
	A	10km	C	B
Gọi quảng đường AB là x (km)
Đk: x>10
Đặt thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc 2 xe gặp nhau lần thứ 2 là t(giờ).
Vận tốc xe thứ nhất là v , xe thứ 2 là v
Khi 2 xe gặp nhau lần thứ hai thì :
+ Xe thứ nhất đi được quảng đường là x + x – 10 = 2x – 10 (km)
+ Xe thứ hai đi được quảng đường là x + 10 (km)
Ta có : v = 
v = 
Theo bài ra ta có :
hay 4x = 110 => x = 27,5
Câu 5 : 2 điểm 
	D	C
	E	F
	O
	A	B
Xét DAOB và đ/t CD//AB , ta có :
áp dụng t/c của đẳng thức tỉ lệ :
 (1)
áp dụng hệ quả của định lý Talét vào các DADC và DACB ta có
Trong DADC thì OE//AB => (2)
Trong DACB thì OF//AB => (3)
Từ (1), (2), (3) => .