Đề thi học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút

Phòng GDtam đảo
Trường thcs Bồ Lý
Đề thi học sinh giỏi năm học 2007 - 2008
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút

Câu 1: 
a. giải hệ phương trình:


b. Cho 2 số x,y thảo mãn đẳng thức:

Xác định x, y để
xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: 
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), gọi M là trung điểm của BC, H là trung tâm tam giác ABC, K là hình chiếu vuông góc của A trên BC. 
Tính độ dài AK và diện tích tam giác ABC biết OM = HK = KM và AM = 20 cm.
Câu 3:
Tìm m để pt (m+1)x2 – 3mx + 4m = 0 có nghiệm dương.
Giải pt: 

Đáp án
Câu 1: (3 điểm)
a. Do 
xy + yz + zx = 11
Kết hợp (2) xy + yz = 5 y(x + z) = 5
 y và x+z là nghiệm của pt: x2 – 6x + 5 = 0
 hoặc 

+ TH1: y = 5 x2 + z2 = -11 không thoả nãm
+ TH2: y = 1 và x + z = 5
Hệ có 2 nghiệm (x,y,z) là (2,1,3) và (3,1,2)
b. 


Dấu “=” xảy ra 

Vậy xy đạt GTNN là -0,5
Câu 2: (3 điểm)
TH1: tam giác ABC chọn:
Kẻ đường kính CE EB = 2MO
 tứ giác là AEBH là hình bình hành AH = EB = 2MO (1)
Từ (1) và MO = HK AK + HK = 3MO = KM (2)
Xét tam giác vuông AKM: AK2 + KM2 = AM2
Kết hợp (2) AK2 AK2 = 30.
 AK = 16 (cm) (3)
 HK = OM = 6 (cm) và AH = EB = 12 (cm)
+ Tam giác AHO vuông tại H AO2 = AH2 + HO2 = AH2 + KM2 = 122 + 242 = 122.5
+ Xét Tam giác EBC: BC2+ EB2= EC2 hay BC2 + AH2 = 4AO2.
BC2 + 122 = 122.20 BC = 12 (cm2) (4)
Từ (3) và (4) (cm2)
* TH2: Tam giác ABC có góc B hoặc góc C tù:
Chứng minh tương tự: có AHBE là hình bình hành.
 AH = EB = 2MO (1)
Từ (1) và MO = HK và AK = AH – HK = MO.
Kết hợp AK song song MO Tứ giác AOMK là hình chữ nhật.
 AO OM và AO = KM = 4 MO.
Xét Tam giác vuông OAM: AO2 + MO2 = AM2 hay 16MO2+ MO2.
 AK = MO = (cm) và OA = (5)
Xét Tam giác vuông EBC: BC2 + EB2 = EC2BC = (6)
Từ (5) và (6) 
Câu 3: 
a. * m = -1 : 3x – 4 – 0 
 m = -1: thoả mãn
* m: pt trở thành pt bậc 2.
TH1: tồn tại m
TH2: 
TH3: 
Vậy PT có nghiệm dương 
PT dạng: