Đề thi học sinh giỏi năm học 2012 - 2013 môn: toán 8 thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN 
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 8
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
 Đề chính thức
 Bài 1 (4 điểm): 
 a) Cho . Tính giá trị của biểu thức: 
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x2 + x2y2 – 2y = 0 và x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0
 Tính giá trị của biểu thức Q = x2 + y2
Bài 2 (5 điểm): 
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: 2x = 5y – 624
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 
 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0
 Bài 3 (4 điểm): 
a) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n2 + n + 6 là số chính phương.
b) Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Một học sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi ?
 Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A có AM là phân giác (M BC). Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng MN = MC. 
 Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm. Trên cạnh CD lấy điểm M. Đường thẳng vuông góc với BM tại M cắt AD tại N.
a) Cho MC = 15cm. Tính diện tích tam giác BMN.
b) Xác định vị trí của M trên cạnh CD để ND có độ dài lớn nhất.
 Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 - 2013.
Bài
Đáp án
Điểm
1
4 điểm
a) Tính giá trị của P:
2,0đ
a) Từ với , ta có: 
1,0đ
Ta lại có: . 
0,5đ
Do đó: 
Lưu ý: HS có thể giải như sau vẫn ghi điểm tối đa
Ta có với mọi a R 
 không tồn tại giá trị a R thỏa mãn 
 Với a R , giá trị của biểu thức không xác định 
0,5đ
b Tính giá trị của Q:
2,0đ
Từ x2 + x2y2 – 2y = 0 (1)
0,5đ
x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0 (2)
0,5đ
Từ (1) và (2) 
0,5đ
0,25đ
Vậy Q = x2 + y2 = 1 + 1 = 2
0,25đ
2
5 điểm
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y)
2,0đ
 Ta có: 2x = 5y – 624 (*)
+ Xét x = 0, ta có: 5y = 625 5y = 54 y = 4
1,0đ
+ Xét x N và x > 0, ta có: VT (*) là số chẵn, còn vế phải (*) là số lẻ, vô lý. 
 Vậy cặp số tự nhiên (x; y) cần tìm là (0; 4)
1,0đ
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y)
3,0đ
Ta có: < 0
2,0đ
Vì: và nên: 
1,0đ
3
4 điểm
a) Tìm số tự nhiên n:
2,0đ
+ Giả sử A là số chính phương, suy ra tồn tại số k Î sao cho:
0,5đ
+ Do k, n nên dễ thấy 2k – n – 1 và 2k + 2n + 1 là các số nguyên.
 Ngoài ra 23 > 0 và 2k + 2n + 1 ; 2k – 2n – 1 < 2k + 2n + 1
 Suy ra 1 2k - 2n - 1 < 2k + 2n + 1.
0,5đ
+ Căn cứ các lập luận trên và 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra: 
0,5đ
+ Với n = 5 thì A = 36 = 62, là số chính phương.
 Vậy n = 5 là số tự nhiên cần tìm. 
0,5đ
b) Tìm số câu hỏi trả lời đúng:
2,0đ
Gọi x là số câu trả lời đúng (x nguyên và 0 x 10)
Số câu trả lời sai là: 10 – x 
0,5đ
Số điểm được cộng là 5.x
Số điểm bị trừ là: 2.(10 – x) 
0,5đ
Nếu được thưởng thì phải đạt từ 30 điểm trở lên, nên ta có:
 5x – 2.(10 – x) 30
0,5đ
Giải bất phương trình trên được: x 8 (thỏa ĐK)
Vậy: Để được thưởng, học sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu hỏi.
0,5đ
4
3 điểm
Chứng minh: MN = MC
Kẽ MH AB tại H, MK AC tại K. 
 AHMK là hình vuông
 MH = MK (1) 
Ta có: (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2)
Từ (1) và (2) MHN = MKC (c.g.v-g.n)
 MN = MC 
3,0đ
5
4 điểm
a) Tính diện tích tam giác BMN:
2,0đ
+ Hai tam giác vuông BCM và MDN có: 
 (cùng phụ với )
 BCM MDN (*)
(cm)
 AN = AD – ND = 20 – 3,75 = 16,25 (cm)
1,0đ
+ Ta có: 
 (cm2)
1,0đ
b) Xác định vị trí của M:
2,0đ
Đặt MC = x (với ).
Từ (*) 
0,5đ
0,5đ
 Độ dài ND lớn nhất là ND = 5cm khi x = 10, hay M là trung điểm của CD.
0,5đ
Vậy: Để độ dài ND lớn nhất thì vị trí của M là trung điểm của CD.
0,5đ
Ghi chú: Mọi cách giải mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa