Đề thi học sinh giỏi Olympic 2006-2007

 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI OLYMPIC 2006-2007 
 1/ Cho 2x -3y -z = 0 và x + 3y –14z = 0 với z 0 . Tìm giá trị của biểu thức 
2/ Tìm hiệu số nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình :
( 7+4)x2 +( 2+)x –2 = 0
3/ Khi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636 được viết dưới dạng một phân số tối giản thì tổng của tử số và mẫu số là bao nhiêu ?
4/ Cho tam giác có độ dài một cạnh là 18.vẽ một đoạn thẳng bên trong tam giác song song cạnh đáy tạo thành một hình thang có diện tích bằng 1/3 diện tích tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng ấy.
5/ Cho tứ giác ABCD, kéo dài AB một đoạn BE = AB. Tứ giác ABCD cần có điều kiện gì để ACE là góc vuông ?
6/ Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi Clà điểm trên đường tròn sao cho góc BOC bằng 600. Nếu đương kính đương tròn bằng 5, tính độ dài dây cung AC.
7/ Độ dài của dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau là 16 . Biết bán kính của hai đường tròn lần lượt là 10 và 17 . Tính khoảng cách hai tâm.
8/ Trong tam giác ABC, hai trung tuyến AM, CN cắt nhau tại O. Gọi P là trung điểm của AC và MP cắt CN tại Q. Nếu diện tam giác OMQ là n thì diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?
9/ Cho AB là đường kính của một đường tròn, vẽ tiếp tuyến AD và BC sao cho AC và BD cắt nhau tại một điểm P trên đường tròn, biết AD = a, BC =b, a khác b.Tính đường kính đường tròn.
10/ Nếu một cung 600 trên đường tròn I có cùng độ dài với một cung 450 trên đường tròn I thì tỉ số diện tích hình tròn I và hình tròn II là bao nhiêu ?
 11/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 750, 2x + 250, 3x – 220.Tính góc C của tam giác.
12/ Diện tích vành khăn ( hiệu diện tích hai hình tròn ) giữa hai đường tròn đồng tâm là 12.5 cm2. Tính độ dài dây cung của đường tròn lớn tiếp xúc đường tròn nhỏ. 
13/ Cho đường tròn tâm O, bán kính R, một dây AB có độ dài R. Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại M. Từ M vẽ đường vuông góc với OA, cắt OA tại D. Tính diện tích tam giác MDA.
14/ P và Q là hai điểm trên cạnhAB và ở cùng một phía đối với trung điểm của AB. Điểm P chia AB theo tỉ số 2:3 và Qchia AB theo tỉ số 3:4. Cho PQ bằng 2, tính độ dài đoạn AB.
15/ Một đường tròn bán kính R tiếp xúc với cạnh AB, AD và CD của hình chữ nhật ABCD và đi qua trung điểm H của đường chéo AC. Tính diện tích hình chữ nhật.
16/ Cho phương trình x2 + px + q = 0 với p, q là số dương. Tính P khi hiệu các nghiệm của phương trình là 1.
17/ Cho tứ giác ABCD có AB và CD song song, số đo góc D gấp hai lần số đo góc b. Gọi a, b lần lượt là độ dài hai đoạn AD và CD. Tính độ dài đoạn AB.
18/ Số ( 248 – 1 ) chia hết cho đúng hai số trong khoảng 60 và 70. Tìm hai số đó.
19/ Tứ giác ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AD = 4. Biết độ dài các cạnh AB, BC đều bằng 1. Tính độ dài cạnh CD.
20/ Độ dài của ba cạnh của bốn tam giác I, II, III, và IV như sau :
I ) 3, 4 và 5 II ) 4, 7 và 8 III ) 7, 24 và 25 IV ) 3 , 4 và 5
 21/Tìm những giá trị nếu có của y thỏa hệ phương trình: x2 + y2 – 16 = 0 và x2 – 3y + 12 = 0.
 22/ Một tam giác có góc 300 và 450. Nếu cạnh đối góc 450 có độ dài là 8 thì cạnh đối góc 300 có độ dài bao nhiêu?
 23/ Cho một đường tròn và dây cung Ab, lấy điểm C khác A,B trên đường tròn. Gọi m là điểm chính giữa của cung CABvà đoạn MP vuông góc với dây AB tại P. cho độ dài củađoạn AC là x, độ dài của đoạn AP là ( x + 1). Tính độ dài đoạn PB. 
 24/ Cho đường tròn và hai dây AB, CD vuông góc nhau tại E. Cho AE, EB và ED có độ dài lần lượt là 2, 6 và 3. Tìm đường kính đường tròn.