Đề thi học sinh giỏi Olympic đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 – 2006 (Đồng Tháp) môn Toán

 SỞ GD-ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI HỌC SINH GIỎI OLIMPIC ĐBSCL
 	TRƯỜNG THPT THỊ XÃ CAO LÃNH NĂM HỌC 2005-2006
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
 Thời gian : 180 phút
----------***----------
Bài 1: (Số học) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên x và y thoả mãn phương trình :
Bài 2: (Đại số )
 Cho các số x,y,z thỏa mãn: . 
 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Bài 3: (Dãy số )
 Cho dãy số thực , n=1,2,3,...xác định bởi
 Tìm số hạng tổng quát của xn
Bài 4: (Hình học phẳng)
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong một vòng tròn. Gọi AA',BB',CC' là ba trung tuyến . 
 AA',BB',CC' lần lượt cắt vòng tròn ngoại tiếp tại . Tìm GTLN của:
Bài 5: (Hình học không gian)
 Cho tứ diện ABCD. Giả sử tứ diện này được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng 
 song song với AB và CD, khoảng cách từ mặt phẳng này đến AB bằng 2 lần khoảng
 cách đến CD.Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
-----------------Hết----------------
	Sở GD – ĐT Đồng Tháp	KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
	TRƯỜNG THPT TX CAO LÃNH	NĂM HỌC : 2005 – 2006
	***********	***********
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN
THỜI GIAN : 180 PHÚT
----------*****----------
Bài 1: (4 điểm) 
Tìm tất cả các số tự nhiên x và y thoả mãn phương trình :
Hướng dẫn giải:
Nhận thấy x và y là các số nguyên không âm và là số vô tỉ.
Phương trình đã cho có thể viết lại :
 (1)	 (1đ)
Vế trái của (1) là số hữu tỉ nên điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là cả hai vế của (1) đều bằng không . Khi đó ta có hệ phương trình:
 (1đ)
Đặt : S=x+y, P=xy ta được hệ:
Từ (3) ta rút ra được : Thay vào (2) và thu gọn được :
 S2 = 1681 hoặc S2 =1680 = 412 (1đ)
Từ đó ta được : S=41 và P=420.
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình : t2 –42t+420=0 t=20 hoặc t=21. (1đ)
Vậy phương trình có hai nghiệm là (20;21); (21;20). 
Bài 2: (4 điểm)
 Cho các số x,y,z thỏa mãn: . 
 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Xét trường hợp y=0 thì và ta có A=2 (0,5 đ)
Xét trường hợp , đặt . Ta có:
 (0,5 đ)
 (0,5 đ)
 (0,5 đ)
Từ đó ta có bảng biến thiên sau:
Vì nên từ bảng biến thiên ta suy ra: (0,5 đ)
t
 t1 t2 + 
f'(t)
 + 0 - 0 +
f(t)
1
f(t1)
f(t2)
1
 (1 đ)
 Do đó: 
 Kết luận: (0,5 đ)
Bài 3: (4 điểm)
 Cho dãy số thực , n=1,2,3,...xác định bởi
 Tìm số hạng tổng quát của xn
Hướng dẫn giải:
Đặt: (0,5 đ)
Từ dãy ta có dãy được xác định như sau: (0,5 đ)
Xét phương trình : (1) . 
Dể thấy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và (0,5 đ)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng: (2) (0,5 đ)
Với n=1: hiển nhiên có (2)
Giả sử đã có (2) với n=k (). Tức là : 
Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n=k+1. Thật vậy: 
Ta có:
 (1 đ)
Nên (2) đúng . Từ đó ta có: , 
dể thấy (1) có hai nghiệm (0,5 đ)
Vậy số hạng tổng quát của dãy số thực là . (0,5 đ)
Bài 4: (4 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong một vòng tròn. Gọi AA',BB',CC' là ba trung tuyến . 
 AA',BB',CC' lần lượt cắt vòng tròn ngoại tiếp tại . Tìm GTLN của:
Hướng dẫn giải:
Do ~ nên (0,5 đ)
Suy ra: (0,5 đ)
Từ đó: (0,5 đ)
Bằng cách tính tương tự ta được:
	 (0,5 đ)
Ta có:
 (0,5 đ)
Áp dụng bđt Cauchy ta có:
	 (0,5 đ)
từ đó ta suy ra:
	 	 (0,5 đ)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c ABC đều 
Vậy: maxT=, giá trị này đạt được khi tam giác ABC đều. (0,5 đ)
Bài 5: (4 điểm)
 Cho tứ diện ABCD. Giả sử tứ diện này được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng song song với AB và CD, khoảng cách từ mặt phẳng này đến AB bằng 2 lần khoảng cách đến CD.Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.
Hướng dẫn giải:
Ta giả sử AB và CD lần lượt có độ dài là a và b, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là d. Gọi (P) là mặt phẳng song song với hai cạnh đối AB và CD.Giả sử (P) cắt tứ diện theo thiết diện là tứ giác EFGL. Dễ thấy EFGL là hình bình hành.
Gọi MN là đường vuông góc chung của AB và CD, giao điểm của MN với (P) là I. Mặt phẳng qua I và AB sẽ cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến JK // AB. Dễ thấy rằng B, J, N thẳng hàng và N, K, A thẳng hàng. Ta có hai tam giác JNK và BNA đồng dạng nhau, với NI và NM là hai đường cao của tam giác đó. Ta xét bài toán tổng quát hơn là "khoảng cách từ mặt phẳng này đến AB bằng k lần khoảng cách đến CD" .Từ giả thiết ta có:
 với NM = NI + IM;
Suy ra . (0,5 đ)
Mặt khác ta lại có . (0,5 đ)
Từ đó ta được và . (0,5 đ)
Dựng JX và KY song song với IM; với X, Y nằm trên AB, suy ra các mặt phẳng (XGL) và (YEF) vuông góc với (P).Dễ thấy rằng khối XGL.YEF là lăng trụ đứng, do đó:
 , (0,5 đ)
 , (0,5 đ)
 (0,5 đ)
Như vậy: . (0,5 đ)
Chứng minh tương tự ta được: . 
Vậy tỉ số thể tích của hai phần do mặt phẳng (P) chia tứ diện ABCD là:
 . Với k = 2 thì (0,5 đ)
 --------------------Hết------------------