Đề thi học sinh giỏi Olympic đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 – 2006 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ANGIANG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
 --------------------------------- 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI OLYMPIC
ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG 
Năm học 2005 – 2006 
Môn TOÁN
( Thời gian làm bài : 180 phút ) 
 Bài 1 : ( 4 điểm )
 Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau : 
x P(x – 1) = (x – 26) P(x)
 Bài 2 : ( 4 điểm )
 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) 
 Bài 3 : ( 4 điểm )
 Cho số a > 2 và dãy số (un) xác định bởi : 
 Chứng minh rằng : với mọi 
 Bài 4 : ( 4 điểm )
 Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = 1 , , tam giác ABD có 
 tất cả các góc đều nhọn . Hãy chứng minh rằng các hình tròn bán kính bằng 1 có 
 tâm lần lượt là A , B , C , D sẽ phủ kín hình bình hành này nếu : a 
 Bài 5 : ( 4 điểm ) 
 Gọi r và R lần lượt là bán kính của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp một hình chóp 
 tứ giác đều . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số 
------------------------------------------------- 
 Bài 1 : ( 4 điểm )
 Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau : 
x P(x – 1) = (x – 26) P(x)
Đáp án 
 Cho P(x) là đa thức thoả điều kiện bài toán . Hiển nhiên nó chia hết cho x .
 Nghĩa là : P(x) = x P1(x) , ở đây P1(x) là một đa thức . (0,5đ)
 Khi đó , P(x – 1) = (x – 1) P1(x – 1) , nghĩa là :
 x (x – 1) P1(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x) (0,5đ)
 Từ đây suy ra P(x) chia hết cho cả (x – 1) , nghĩa là P(x) = x (x – 1) P2(x) (0,5đ) 
 Từ đây ta lại nhận được : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) (0,5đ) 
 Hoặc là x (x – 1) (x – 2) P2(x – 1) = (x – 26) . P(x) (0,5đ) 
 Từ đây ta suy ra P(x) chia hết cho (x – 2) . 
 Tiếp tục theo tinh thần đó , cuối cùng ta nhận được : 
 P(x) = x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) . P26(x) (0,5đ)
 Khi đó , từ điều kiện bài toán suy ra :
 x (x – 1) (x – 2) ....(x – 26) . P26(x – 1) = (x – 26) x (x – 1)...(x – 25) . P26(x) 
 Suy ra : P26(x – 1) = P26(x) (0,5đ)
 Và vậy P26(x) = c ( c : hằng số )
 Vậy P(x) = c . x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) (0,5đ)
 Kiểm tra lại ta thấy nhận . 
-------------------------------------------------
 Bài 2 : ( 4 điểm )
 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1) 
Đáp án 
 Đặt P(x) = x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 
 Xét x 0 , ta có :
 (2x + 7)3 = 8x3 + 84x2 + 294x + 343 < P(x) < 8x3 + 120x2 + 600x + 1000 = (2x + 10)3 (0,5đ)
 2x + 7 < y < 2x + 10 y = 2x + 8 hoặc y = 2x + 9 (0,5đ) 
 Vì cả hai phương trình : P(x) – (2x + 8)3 = 0 – 12x2 + 36x + 272 = 0
 P(x) – (2x + 9)3 = 0 – 24x2 – 66x + 55 = 0 
 đều không có nghiệm nguyên . Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên với x0 (0,5đ) 
 Lại có P(– x – 7) = – P(x) . Vậy (x ; y) là nghiệm của (1) (– x – 7 ; y) cũng là nghiệm . (0,5đ) 
 Do đó không tồn tại nghiệm với x – 7 . Vậy nếu (x ; y) là nghiệm thì ta phải có -6 x -1 (0,5đ)
 Với -3 x -1 , ta có :
 P(-1) = 440 không phải là số lập phương , P(-2) = 216 = 63 , P(-3) = 64 = 43 
 (-2 ; 6) và (-3 ; 4) là các nghiệm với -3 x -1 (0,5đ)
 Do tính chất P(– 7 – x) = – P(x) (-5 ; -6) và (-4 ; -4) là nghiệm của (1) với -6 x -1 (0,5đ) 
 Vậy các nghiệm của (1) là : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6) (0,5đ) 
-------------------------------------------------
 Bài 3 : ( 4 điểm )
 Cho số a > 2 và dãy số (un) xác định bởi : 
 Chứng minh rằng : với mọi 
Đáp án 
 a > 2 (0,5đ)
 (0,25đ)
 (0,25đ)
 Tương tự :
 (0,25đ)
 Do đó :
 (1)
 (0,5đ)
 (0,5đ)
 (0,5đ)
 < 1
 (0,5đ)
 (2) (0,5đ)
đúng với mọi và mọi b > 0 . Vậy (1) đúng với mọi và a > 2 (0,25đ)
------------------------------------------------- 
 Bài 4 : ( 4 điểm )
 Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = 1 , , tam giác ABD có 
 tất cả các góc đều nhọn . Hãy chứng minh rằng các hình tròn bán kính bằng 1 có tâm lần 
 lượt là A , B , C , D sẽ phủ kín hình bình hành này nếu : a .
Đáp án 
Bước 1 : * Bổ đề : Gọi O là tâm và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . 
 Khi đó , các hình tròn tâm A , B , C với bán kính x sẽ phủ kín ABC . (1đ)
 * Chứng minh bổ đề :
 1) Điều kiện cần : 
 A Các hình tròn tâm A ,B ,C bán kính x phủ kín 
 ABC các hình tròn này phải phủ O 
 x R (0,25đ)
 I K 
 (hình vẽ 0,25đ) 
 O 
 B J C
 2) Điều kiện đủ : Đảo lại , giả sử x R với (O ,R) là đường tròn ngoại tiếp ABC .
 Ta xét các vòng tròn tâm A ,B ,C có bán kính R . Khi đó , gọi I ,J ,K
 lần lượt là hình chiếu của O xuống AB , BC , CA thì hình tròn tâm A
 bán kính R sẽ phủ kín tứ giác OIAK . Tương tự hình tròn tâm B , C 
 bán kính R lần lượt phủ kín tứ giác OIBJ , OJCK . Do đó các hình tròn 
 tâm A ,B ,C bán kính R phủ kín ABC . (0,25đ) 
 Theo giả thiết ta có x R nên hiển nhiên các hình tròn tâm A , B , C
 bán kính x phủ kín ABC . Điều kiện đủ được chứng minh . (0,25đ)
Bước 2 : Chứng minh bài toán :
 B C Các hình tròn tâm A ,B ,C ,D bán kính bằng 1 phủ 
 H kín hình bình hành ABCD 3 hình tròn tâm A ,B ,D
 a bán kính bằng 1 phủ kín ABD (0,5đ) 
 1 (hình vẽ 0,25đ) 
 A D 
 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABD , áp dụng bổ đề trên ta có điều kiện 
 cần và đủ để 3 hình tròn đơn vị tâm A ,B ,D phủ kín ABD là : 1 R (0,5đ)
 Ta có : BD = 2R sin (định lý hàm số sin) 
 BD2 = a2 + 1 – 2a cos (định lý hàm số cosin)
 nên 4R2 sin2 = a2 + 1 – 2a cos (0,25đ)
 Do đó 4 sin2 a2 + 1 – 2a cos (vì 1 R) 
 3 sin2 a2 + 1 – 2a cos + cos2 – 1 
 3 sin2 a2 – 2a cos + cos2 (0,25đ)
 sin , (doABD nhọn nên có AB > AH = cosa > cos) 
 sin a – cos
 cos + sin a (đpcm) (0,25đ)
--------------------------------------------------------------------
 Bài 5 : ( 4 điểm ) 
 Gọi r và R lần lượt là bán kính của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình chóp một 
 tứ giác đều . Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số .
Đáp án 
 A
 Giả sử hình chóp đều S.ABCD có 
 cạnh đáy 2a
 đường cao SO = h 
 cạnh bên SC = 
 ( OC = )
 D C 
 M O N 
 A B
 R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAC 
 (vì SA = SC) (1đ) 
 r cũng là bán kính đường tròn nội tiếp SMN với M ,N lần lượt là trung điểm của AD ,BC
 dt (SMN) = ½ MN . SO = ah
 p = ½ (MN + SM + SN) = 
 (1đ)
 Suy ra : 
 Đặt , ta được : 
 (1đ) 
 x2 + 4 (1 + k – k2) x + 8k + 4 = 0 (1) 
có nghiệm x khi ’ = 4k2 (k2 – 2k – 1) 0 . 
 Do đó : Min (1đ) 
-------------------------------------------------