Đề thi học sinh giỏi thành phố - Lớp 12 năm học 2009 - 2010 môn thi: Toán

Kỳ thi học sinh giỏi thành phố - lớp 12
Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi 12 -11 - 2009
Thời gian làm bài 180 phút
Bài I: (6 điểm)
Cho hàm số y =
(
x2 − 1)2 − (m + 1)2(1−m)2 (m là tham số).
1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục hoành.
2. Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm
phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
Bài II: (5 điểm)
1. Giải phương trình: 9
(√
4x + 1−√3x − 2
)
= x + 3
2. Cho dãy số
(
un
)
có un =
Pn
Ann+2
với n là số nguyên dương (Pn là số hoán vị
của tập hợp gồm n phần tử, Ann+2 là số chỉnh hợp chập n của n+ 2 phần tử).
Đặt Sn = u1 + u2 + ã ã ã+ un. Tìm lim
n→+∞Sn.
Bài III: (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh bằng a.Với M là một điểm
thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D′C ′ sao cho AM +D′N = a.
1. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
2. Tính thể tích của khối chóp B′.A′MCN theo a. Xác định vị trí của điểm M
để khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (A′MCN) đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng
cách lớn nhất đó theo a.
3. Tìm quĩ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi
điểm M chạy trên cạnh AB.
Bài IV: (4 điểm)
1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 1 ≥ x ≥ y > 0. Chứng minh rằng:
x3y2 + y3 + x2
x2 + y2 + 1
≥ xy
2. Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số
y =
(
x − 1)(x3 + x2 + 1)
tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số.