Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây 2005-2006 (Lớp 12) môn Toán

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tây 2005-2006
(Lớp 12)
Câu I: (4 đ)
 Giải phương trình: + = 8x + 2 - 23
Câu II: (7 đ)
 Cho hàm số : y = x3 – 2mx2 - x + m + (1)
Viết phương trình đườn thẳng đi qua CĐ và CT, tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị đạt min.
 a ) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại các điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
 b ) Tìm m để : x12 + x22 + x32 15
Câu III: (4đ)
 Cho tam giác ABC vuông tại A, B(-3;0), C(7;0). Bán kính đường tròn nội tiếp r = 5- 5. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Câu IV: (5đ)
 Cho đưòng tròn (O) có hai bán kính OK và OA vuông góc , M là trung điểm của OK . Kẻ phân giác góc AOM cắt OA tại N . Từ N kẻ NB song song với OK ,B(O) .Chứng minh rằng: AB là một cạnh của ngũ giác đều nội tiếp (O).
Hướng dẫn giải: 
Câu I :
 Đặt u = , v = , đk u≥ 0, v≥ 0. được pt: 
 u + v = u2 + v2 + 2uv (*)
coi (*) là phương trình bậc 2 của u hoặc v ta tìm được hoặc u + v = 0 hoặc u + v = 1.
Câu II: không khó
Câu III:
 + Tính BC = ? (1) 
 + Tính BM = , CM = 
 Suy ra: BC = r( + ) (2) 
 Tg = tg = (3)
 Từ (1),(2),(3) suy ra phưong trình bậc hai của tg
 + CM = = . M(?;?) I(?;?)
Câu IV :
 + OM = MA = 
 + = = 
 = 
 ON = 
 cos= = 
 Cmr : cos720 = từ đó suy ra đpcm.