Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2008-2009 thời gian 150 phút

Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh Năm học 2008-2009
Thời gian 150/
Mụn: Toỏn
Bài 1: a) Giải hệ phương trình 
b) Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và .
Chứng minh: 
Bài 2: 
Giải phương trình: 
Bài 3: 
 Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E là các tiếp điểm). Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B,C (B ở giữa A và C), kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đường tròn tâm O tại Q (Q ≠ C). Gọi giao điểm của AC và DE là I.
Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua3 điểm A, D, Q
Bài 4: 
 Cho đường thẳng d nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d tại A. Từ A, kẻ các cát tuyến d1, d2 lần lượt cắt đường tròn (O) tại B, C và D, E (B ở giữa A và C, còn D ở giữa A Và E). Gọi M, N thứ tự là giao điểm của các đường thẳng BE và DC với đường thẳng d. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 5: 
Các số thực x,y,z thoả mãn: x4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :         P=x2(y+z) + y2(x+z) + z2(y+x) .
Hướng dẫn giải:
Bài 1: a) Giải hệ phương trình 
Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x + )2 + x + - 20 = 0. Đặt: t = x + 
=> t2 + t - 20 = 0 => t1 = 4, t2 = -5
Với t = 4 => x + = 4 => x = 4 - . Thay vào (2) cú: y ==> x = 2.
Với t = -5 => x + = -5=> x = -5 - . Thay vào (2) cú: 
13y2 + 5y + 1 = 0 phương trỡnh vụ nghiệm.
Vậy hệ cú nghiệm duy nhất: x = 2, y =
b, Ba số a,b,c, thoả mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và 
Từ . => ab+ac+bc= abc => (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc 
=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0=> a+b = 0 hoặc b+c= 0 hoặc c+a = 0.
Nếu: a+b = 0 => c = 1 => a2009 + b2009 = 0 => a2009 + b2009 +c2009 = 1 
Tương tự với: b+c= 0 hoặc c+a = 0. 
Bài 2: 
Giải phương trình: (*)
ĐK: x ≥ . Từ (*) =>. Bỡnh phương hai vế ta được:
 4(3x-2)3 = 9x2(3x-2)2 + x6 - 6x4(3x-2)
 (x-1)2(x-2)2(x2 - 12x + 8) = 0
 => x1 = x2 = 1; x3 = x4 = 2; x5 = 6 - 2, x6 = 6 + 2. Thoả món.
Bài 3:
a, Cú:QDI=QCE mà IP//EH
=>QDI=QPI=> QDPI nội tiếp
b, Gọi O3 là tõm đường trũn ngoại
 tiếp DAQD
Ta cú:AO3L+O3AL = 900 (1)
ADQ=AO3L 
(gúc nội tiếp, gúc ở tõm)
Cú: AEQ=QCE mà
QDE=QCE
 =>AEQ=QDE mà
QDI+DIQ= 900 
 (theo (a) DFI = 900 ) mặt khỏc
QIA+DIQ= 900 
=> QIA=DEA 
=> tứ giỏc AQIE nội tếp.
=> QAI=QEI mà QEI=QCD và QCD=ADQ,ADQ=AO3L
=>IAQ=AO3L (2) Từ (1) và (2) cú: O3A vuụng gúc với AC => đccm.
Bài 4: 
Kẻ OH và OK lần lượt vuụng 
gúc với BE và CD
Dễ thấy MAHO nụi tiếp
=>JHA = AMO (1) (cựng bự OHA)
Cú NAKO nội tiếp
 S
=>LKA = ANO (2) (cựng bự OKA)
Ta cú: DACD DAEB (gg)
Cú AK, AH trung tuyến tương 
 S
ứng của 2 tam giỏc 
=>DACK DAHE (cgc)
=>AHE = AKC (3)
Mà CKL = EHJ = 900 (4)
 (theo ta vẽ vuụng gúc)
Từ (1)(2)(3)(4) Ta cú
=>ANO = AMO
=> =>DMON cõn tại O. 
 đpcm 
Bài 5: 
Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta cú:
P2 = [x2(y+z) + y2(x+z) + z2(y+x)]2 ≤ (x4 + y4 + z4)[(y+z)2 + (x+z)2 + (y+x)2] 
Mà: (x4 + y4 + z4)[(y+z)2 + (x+z)2 + (y+x)2] = 6[z2 + x2 + y2 +xy+xz+yz] 
mà: 6[z2 + x2 + y2 +xy+xz+yz] ≤ 12(z2 + x2 + y2) ≤ 12 = 36
P2 ≤ 36 => Pmax = 6 khi và chỉ khi x=y=z=1.