Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải dương môn Toán lớp 9 (môn 2003 - 2004)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2,5 điểm) 
Giải phương trình : 
|xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = 0 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
Hai phương trình : 
x2 + (a - 1)x + 1 = 0 ; x2 + (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - 1 = 0 và x2 + cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung. 
Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c). 
Bài 3 : (3,0 điểm) 
Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B. Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 tại D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 tại C. 
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 tại M và cắt đường tròn tâm O2 tại N. 
Chứng minh rằng : 
1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đường tròn. 
2) BC + BD = MN. 
Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = 3 và x + y là một số nguyên. 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004)
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (6 điểm) 
1) Chứng minh rằng : 
là số nguyên. 
2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : 
với n là số nguyên lớn hơn 2. 
Bài 2 : (6 điểm) 
1) Giải phương trình : 
2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2. 
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. 
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. 
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. 
Bài 3 : (8 điểm) 
1) Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đường tròn cố định. 
2) Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
 ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG THCS
Môn thi : Toán - Năm học 1999 - 2000
Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
A. Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn 1 trong 2 câu sau : 
Câu 1 : 
a) Hãy viết định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0. Tính: 
b) Hãy viết định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng. 
Câu 2 : 
a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc nhất hai ẩn số. 
b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông”. 
B. Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho mọi học sinh. 
Bài 1 : (2 điểm). 
a) Cho : 
Tính M + N và M x N. 
b) Tìm tập xác định của hàm số : 
c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình . Hãy tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) với các trục tọa độ. 
Bài 2 : (2 điểm). 
Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số ghế như nhau. Nếu ta bớt đi 2 dãy và mỗi dãy còn lại thêm 2 ghế thì vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi một ghế). Hỏi trong phòng đó có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ? 
Bài 3 : (4 điểm). 
Cho nửa đường tròn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F. 
a) Chứng minh ΔABE vuông cân. 
b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF. 
c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp. 
d) Cho điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B) và D di động trên cung CB (D khác C và B). Chứng minh: 
AC x AE = AD x AF và có giá trị không đổi. 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003
Môn Toán - Dành cho các lớp chuyên tự nhiên
Thời gian làm bài 150 phút
Bài I (3,0 điểm) 
Cho biểu thức : 
1) Rút gọn biểu thức A. 
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. 
Bài II (3,0 điểm) 
1) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : 
x2 - (2m - 3)x + 1 - m = 0 
Tìm giá trị của m để x12 + x22 + 3x1.x2. ( x1 + x2)đạt giá trị lớn nhất. 
2) Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = 2 a2003 . b2003 
Chứng minh rằng phương trình : x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. 
Bài III (3,0 điểm) 
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số BC/AB. 
2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C. Tính góc ACD . 
Bài IV (1,0 điểm) 
Chứng minh bất đẳng thức : 
với a, b, c là các số thực bất kì. 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS)
TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002 - 2003
* Môn thi : Toán       * Thời gian : 150 phút 
Bài 1 : (4 điểm) 
Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0. 
a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) 
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = 1. 
Bài 2 : (5 điểm) 
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây : 
Bài 3 : (3 điểm) 
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh : 
b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh : 
Bài 4 : (3 điểm) 
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. 
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. 
Bài 5 : (2 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 6 : (3 điểm) 
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D, đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN. 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THÁI BÌNH
* Môn thi : Toán     * Thời gian : 120 phút     * Khóa thi : 2001-2002 
A. Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề : 
Đề thứ nhất : 
a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số. Cho ví dụ. 
b) Giải phương trình : x2 - 2x - 8 = 0. 
Đề thứ hai : 
Nêu định lí về góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận cho các trường hợp xảy ra. 
B. Bài toán bắt buộc (8 điểm) 
Bài 1 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Rút gọn biểu thức K. 
b) Tính giá trị của K khi . 
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0. 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho hệ phương trình : 
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1. 
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm. 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. 
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp. 
b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ? 
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. 
d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng : 
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 150 phút 
Bài 1 (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định. 
b) Rút gọn biểu thức K. 
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ? 
Bài 2 (2 điểm) 
Cho hàm số : y = x + m (D). 
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; 
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; 
c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2. 
Bài 3 (3 điểm) 
a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : 
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó. 
b) Chứng minh bất đẳng thức : 
Bài 4 (3 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. 
a) Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp. 
b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao ? 
c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng r2 = r12 + r22. 
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2001 - 2002       * Thời gian : 120 phút 
A. Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau đây : 
Đề 1 : 
Nêu điều kiện để có nghĩa. 
áp dụng : Tìm mỗi giá trị của x để mỗi căn bậc hai sau đây có nghĩa : 
Đề 2 : 
Chứng minh rằng : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau. 
B. Toán : (8 điểm) 
Bài 1 : (3 điểm) 
a) Tính : 
b) Rút gọn biểu thức : 
c) Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A (1 ; 3) và B (2 ; 1). 
Bài 2 : (1,5 điểm) 
Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước 3 cm thì diện tích tăng 48 cm2. 
Bài 3 : (3,5 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường kính AA’ và BB’ của đường tròn. 
a) Chứng minh ABA’B’ là hình chữ nhật. 
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh BH = CA’. 
c) Cho AO = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC. 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 90 phút 
Bài 1 : (3 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a) x2 + 6x + 5 
b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12 
Bài 2 : (4 điểm) 
a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz. 
b) Rút gọn phân thức : 
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. 
A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2. Chứng minh A > 0. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức : 
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12. 
Bài 5 : (6 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 
a) Chứng minh AE = AB. 
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM. 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU 
TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH)
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 150 phút 
Bài 1 : (2 điểm) 
Xét biểu thức : 
1) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. 
2) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - |y| = 0 
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? 
Bài 2 : (2 điểm) 
Giải hệ phương trình : 
Bài 3 : (2 điểm) 
Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào hình vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn 1/2 đơn vị. 
Bài 4 : (2 điểm) 
Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng : 
1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi. 
2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định. 
Bài 5 : (2 điểm) 
1) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương. 
2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2002 - 2003
* Môn thi : Toán      * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (3 điểm) 
Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + 4. 
Bài 2 : (3 điểm) 
Chứng minh đẳng thức : 
với a, b trái dấu. 
Bài 3 : (3 điểm) 
Rút gọn : 
Bài 4 : (3 điểm) 
Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó. 
Bài 5 : (4 điểm) 
Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C. 
Chứng minh : 
a) Tứ giác MNCB là hình thang cân. 
b) MA . MB = R2. 
c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 . 
Bài 6 : (4 điểm) 
Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)). 
a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. 
b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB. 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán      * Khoá thi : 2002 - 2003      * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (2,5 điểm) 
Cho biểu thức : 
1) Rút gọn B. 
2) Tìm các giá trị của x để B > 0. 
3) Tìm các giá trị của x để B = - 2. 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + 6 = 0 (1) 
1) Giải phương trình với m = 1. 
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2. 
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn :
S = x12 + x22 = 13. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Đường kính AD của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. 
1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. 
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp. 
3) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’). 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY
* Môn : Toán (chung)   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2003 - 2004 
Bài 1 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
với x ≥ 0 ; x ≠ 1. 
1) Rút gọn P. 
2) Tìm x sao cho P < 0. 
Bài 2 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x12 + x22 = 2003. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. 
Bài 4 : (3,5 điểm) 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. 
2) Chứng minh ΔMNK cân. 
3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 5 : (1 điểm) 
Cho a, b, c là các số bất kì, đều khác 0 và thỏa mãn :
ac + bc + 3ab ≤ 0.
<DD.Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm : (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)(cx2 + ax + b) = 0. 
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
* Môn : Toán (chuyên)   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2003 - 2004 
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x2 + x - 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : 
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3. 
Bài 3 : (2 điểm) 
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho a2 + b2 + c2 = 2007. 
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + 7 = 0. 
Bài 4 : (2,5 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A. Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. 
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp. 
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau. 
Bài 5 : (2 điểm) 
Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu. 
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm. 
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài. 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004
Câu 1 : 
1) Chứng minh rằng : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b. 
2) Giải hệ phương trình : 
Câu 2 : 
1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 22n + 1 - 2n + 1 + 1 ; bn = 22n + 1 + 2n + 1 + 1. Chứng minh rằng với mọi n, an.bn chia hết cho 5 và an + bn không chia hết cho 5. 
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. 
Câu 3 : Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC. Đặt A1B = x, A1C = y. 
1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK. Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó. 
2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y. 
Câu 4 : 
1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. 
2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 : 
1) Cho một bảng vuông 4 x 4 ô. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0. 
2) ở vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ? 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : 
T = {ax + by, x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1}. 
Chứng minh rằng các số : 
đều thuộc tập T. 
Bài 2 : (2,0 điểm) 
Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh AB, AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) của ΔABC và đường thẳng DE đồng quy. 
Bài 3 : (2,5 điểm) 
1) Giải hệ phương trình : 
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là các số nguyên dương. 
Bài 4 : (1,0 điểm) 
Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố. 
Bài 6 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm là x1 và x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (n là số tự nhiên). Tìm giá trị của a và b sao cho đẳng thức : un + 1un + 2 - unun + 3 = (-1)n với mọi số tự nhiên n, 
từ đó => un + un + 1 = un + 2. 
ĐỀ THI GIẢI LÊ QUÍ ĐÔN 
QUẬN TÂN BÌNH - TP. HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 6   * Thời gian : 90 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (3 điểm) 
Tìm số nguyên x biết : 
a) - 1 < 5x/13 < 0 
b) 1/(2x - 4) = 2/28 
Bài 2 : (3 điểm) 
1) Một quả dưa hấu nặng hơn 2/7 khối lượng của nó 2,5 kg. Hỏi quả dưa hấu đó nặng bao nhiêu kg ? 
2) Cho a thuộc Z. Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải là số nguyên không ? Vì sao ?
Bài 3 : (4 điểm) 
1) Trong hình vẽ sau : 
a. Có những tam giác nào có cạnh là EF ? 
b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra. 
c. Nếu biết số đo góc BDC = 60o thì tia DE có phải là tia phân giác của góc EDF không ? Vì sao ? 
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau : 
Hãy vẽ 9 điểm là : A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình và phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau đây : 
a) A, P, Q thẳng hàng.
b) A, M, N thẳng hàng.
c) R, M, C thẳng hàng.
d) A, P, R thẳng hàng.
e) M, C, S thẳng hàng.
f) A, B, S thẳng hàng.
g) B, C, Q thẳng hàng.
h) B, C, N thẳng hàng.
i) M, N, R không thẳng hàng.
k) B, P, Q không thẳng hàng. 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
HUYỆN YÊN LẠC VĨNH PHÚC
* Môn thi : Toán   * Thời gian :150 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Câu 1 : (2 điểm) Cho : A = (a2 + 4a + 4) / (a3 + 2a2 - 4a - 8) 
a) Rút gọn A. 
b) Tìm a Z để A là số nguyên. 
Câu 2 : (2,5 điểm) 
a) Cho a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/c = 0 . Tính a2 + b2 + c2. 
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn :
a / (b - c) + b / (c - a) + c / (a - b) = 0. 
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương. 
Câu 3 : (2 điểm) 
Giải phương trình : 
a) |x + 1| = |x(x + 1)| 
b) x2 + 1 / x2 + y2 + 1 / y2 = 4 . 
Câu 4 : (1 điểm) 
Tổng một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359. Tìm số tự nhiên đó. 
Câu 5 : (2,5 điểm) 
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H. 
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng. 
b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không ? 
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất. 
ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH
 QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 7   * Thời gian : 120 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
Tìm x biết :
Bài 2 : (3 điểm) 
Tính : 
a) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 +  - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003. 
b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1)...(1/121 - 1). 
Bài 3 : (4 điểm) 
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30. 
b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38. 
Bài 4 : (6 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD). Chứng minh : 
a) BH = CK. 
b) Tam giác MHK vuông cân. 
Bài 5 : (2 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 20o, BC = 2 cm. Trên AB dựng điểm D sao cho = 10o. Tính độ dài AD ? 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
TỈNH NAM ĐỊNH
* Môn thi : Toán   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : 
Rút gọn biểu thức : 
Bài 2 : 
Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. Chứng minh rằng các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 và R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. 
Bài 3 : 
Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m = 7. 
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 4 : 
Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt (C1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C. 
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui. 
Bài 5 : 
Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 
THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY
* Môn thi : Toán   * Thời gian : 120 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003 
Bài 1 : (5 điểm)
a) Tính : 
b) Tìm x biết :
Bài 2 : (3 điểm) So sánh : 
Bài 3 : (2 điểm) Chứng minh rằng số là hợp số.
Bài 4 : (4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của hồ