Đề thi học sinh giỏi toán 12 thời gian : 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 
Thời gian : 180 phỳt
Bài 1: (2điểm) :
	Tỡm cỏc điểm cực trị của hàm số : y = excosx.
	(Trớch chuyờn đề Hàm số của Lờ Hồng Đức) 
Bài 2 (4 điểm) : Cho phương trỡnh : cos3x - cos2x + m cosx - 1 = 0
	a- (2 điểm) : Giải phương trỡnh với m = 1.
	b- (2 điểm) : Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng bảy nghiệm ẻ (-; 2p).
	 (Trớch đề thi ĐH Y thành phố Hồ Chớ Minh - 1999)
Bài 3 (2 điểm) : Giải bất phương trỡnh : - x + 2 > 0.
	 (Trớch 150 đề thi Đại học) 
Bài 4 (2 điểm) :	Chứng minh rằng : "DABC nhọn ta đều cú : 
	(SinA + SinB + SinC) + (tgA + tgB + tgC) > p.
	(Trớch đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn 12 tỉnh Hải Phũng - 1998) 
Bài 5 (2 điểm).
xđ1
 Tỡm A = lim F(x) với F(x) = 
 	 (Trớch đề thi ĐH QGHN năm 1993) 
Bài 6 (2 điểm) : Tớnh : 	I = 
	 (Trớch đề ĐH TCKT năm 2000) 
Bài 7 (2 điểm) : Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : y = x3 + với x > 0
	(Trớch PP giải toỏn hàm số của tỏc giả Lờ Hồng Đức)
Bài 8 (2 điểm) : Giải phương trỡnh : + 3 - Sinx = 0
	(Trớch đề thi học sinh giỏi Toỏn 12- tỉnh Đồng Nai - 1996) 
Bài 9 (2 điểm) : Cho DABC biết A (2; -1) và hai đường phõn giỏc trong của gúc B và C lần lượt cú phương trỡnh là : 
	dB : x - 2y + 1 = 0
	dC : x + y + 3 = 0 
	Hóy lập phương trỡnh đường thẳng BC./.
	 (Trớch đề thi ĐH Thương mại năm 1999)
	HƯỚNG DẪN CHẤM THI MễN TOÁN
	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 	
Thời gian : 180 phỳt
Bài 
Nội dung 
Điểm
1
TXĐ : D = R 
0,25 
Ta cú : y' = excosx - exsinx. 
Cho y' = 0 Û ex (cosx - sinx) = 0 Û sinx = cosx 
 Û x = + kp ( kẻz). 
0,25
y" = excosx - exsinx - (exsinx + excosx) = - 2exsinx 
0,5
Với x = + kp
TH1 : Nếu k = 2l (lẻz) thỡ x = + l2p.
Thay vào y" : 
 y"( + l2p) = -. Sin ( + l2p) < 0.
 Û y = + l2p (lẻz) là điểm cực đại của hàm số. 
0,5
TH2 : Nếu k = 2l + 1 (lẻz) thỡ x = + l2p
Thay vào y" ta cú : 
 y"( + l2p) = -2 Sin ( + l2p) > 0 
Û x = + l2p là điểm cực tiểu của hàm số (lẻz) 
0,5
2
4.00
2a
2.00
Biến đổi phương trỡnh về dạng : 
 4cos3x - 3cosx - 2cos2x + 1 + mcosx - 1 = 0
 Û 4cos3x - 2cos2x + (m - 3) cosx = 0 (1) 
0,5
Đặt t = cosx, "xẻR thỡ "tẻ [-1; 1] (*)
Với m = 1 thay vào (1) ta được : 
 t (4t2 - 2t - 2) = 0 Û t = 0; t = - ; t = 1 thoả món (*) 
1.00
 cosx = 0 x = + k2p
 Û cosx = - Û x = + k2p (kẻz) 
 cosx = 1 x = k2p
0,5
 2b
2.00
Từ phương trỡnh (1) ta cú : 
 cosx = 0 (2) 
 4cos2x - 2cosx + m - 3 = 0 (3) 
Giải (2) ta cú : cosx = 0 Û x = + kp (kẻz) 
Vỡ xẻ (-; 2p) nờn phương trỡnh (2) chỉ nhận : x = là nghiệm
 x = 
0,5
 Đặt t = cosx thỡ (3) Û 4t2 - 2t + m - 3 = 0 (4) 
Để phương trỡnh (1) cú đỳng 7 nghiệm ẻ (-; 2p) thỡ phương trỡnh (4) phải cú nghiệm thoả món điều kiện sau : -1 < t1 < 0 < t2 < 1
0,5
 af(0) < 0 Trong đú f(t) = 4t2 - 2t + m - 3 
Û af(-1) > 0 
 af(1) > 0 
0,5
 m - 3 < 0 
Û m - 1 > 0 Û 1 < m < 3
 m + 3 > 0 
0,5
3
2.00
 > x - 2
 2x2 - 6x + 1 ³ 0
 Û x - 2 < 0 
 2x2 - 6x + 1> (x - 2)2 
 x - 2 ³ 0
 0,5 
 x Ê 
 x ³ 
 Û x < 2 
 2x2 - 6x + 1 > x2 - 4x + 4
 x ³ 2 
 0.5 
 x Ê 
 Û x2 - 2x - 3 > 0 
 x ³ 2 
0,5
 x Ê 
 Û x < -1 Û x Ê 
 x > 3 x > 3 
 x ³ 2 
KL : Vậy bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm là : 
 T = (- Ơ ; ] (3; + Ơ) 
0,5
4
2.00
Chứng minh : 
 Xột hàm số : f(x) = sinx + tgx - x
 Với x ẻ (0 ; ) 
 Ta cú : f'(x) = cosx + - 1 
0.5
 f'(x) = (cosx + cosx + ) - 1 ³ . 3 - 1 
0,5
 Û f'(x) ³ 0 Û Hàm số y = f(x) là hàm số ĐB trờn (0 ; ) Û f(x) > f(0) 
0,5
 Û sinx + tgx - x > 0 " x ẻ (0 ; ) 
 Vỡ DABC nhọn nờn ta cú : 
Vậy (sinA + tgA - A) + (sinB + tgB - B) + (sinC + tgC - C) > 0.
Û (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > A + B + C 
Û (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > p (™)
0, 5
5
2.00 
Viết F(x) về dưới dạng : 
 F(x) = 
Vậy : A = lim - lim 
 x đ 1 x đ 1 
1.00
Ta cú : lim = lim = 
 x đ 1 x đ 1
 = lim = - 
 x đ 1
0,5
Ta cú : lim = lim = 
 x đ 1 x đ 1
 = lim = 
 x đ 1
 Û A = - - - = - 
0,5
6
2.00
Đặt t = x2 Û dt = 2xdx
Khi x = 0 ị t = 0 
 x = 1 ị t = 1 khi đú ta cú : 
I = = 
Đặt t + = tgu Û dt = = (1 + tg2u) du 
Khi t = 0 ị u = 
 t = 1 ị u = 
0,5
0,5
I = 
0,5
 I = 
0,5
7
2.00
Ta cú : y = x3 + x3 + + + ( x >0) 
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Cụsy cho 5 số : 
 x3 ; x3; ; ; ta cú : y ³ 5
 Û y ³ 5 Û y ³ 
 Û Min y = 
 (0; + Ơ)
0,5
0,5
 Dấu "=" sảy ra Û x3 = x3 = x2 = x2 = x2 
 Û x5 = 2 Û x = 
0,5
8
2.00
 32sinx - 3 + (3sinx - 10) 3sinx - 2 + 3 - sinx = 0 (5) 
Đặt t = 3sinx - 2 với t > 0. Khi đú phương trỡnh tương đương với : 
 3t2 + (3sinx - 10)t + 3 - sinx = 0 (6) 
 D = (3sinx - 10)2 - 4.3(3 - sinx) = (3sinx - 8)2
0,5
Phương trỡnh (6) cú nghiệm là : t = 
 t = 3 - sinx
+ Với t = ta được : 3sinx - 2 = Û sinx - 2 = -1 Û sinx = 1
 Û x = + k2p (kẻz )
0,5
+ Với t = 3 - sinx ta cú : 3sinx - 2 = 3 - sinx (7) 
Nhận thấy sinx = 2 là nghiệm của phương trỡnh (7) vỡ 30 = 3 - 2 (đỳng) 
0,5
Chứng minh sinx = 2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh (7) vỡ : 
 Vế trỏi y = 3sinx - 2 là hàm số đồng biến.
 Vế phải y = 3 - sinx là hàm số nghịch biến 
 Mặt khỏc, sinx = 2 (loại) vỡ 2 > 1
KL : Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm : x = + k2p (kẻz )
0,5
9
2.00
E F
Gọi A1; A2 theo thứ tự là điểm A(2; -1) dB 
đối xứng của A qua (dB) và (dC) dC 
thỡ A1; A2 ẻ BC.
ị Phương trỡnh đường thẳng 
A1A2 cũng chớnh là phương trỡnh 
của đường thẳng B. B A1 A2 C
+ Xỏc định A1 : 
 Gọi (d1) là đường thẳng thoó món : (d1) đi qua A 
 (d1) ^ (dB) 
 Û (d1) đi qua A ( 2; -1) 
 nhận vộc tơ phỏp tuyến = (2; 1) 
ị (d1) : 2x + y - 3 = 0 
Gọi E = (d1) (dB) ị Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : 
 2x + y - 3 = 0 Û E (1;1) vỡ E là trung điểm AA1 ị A1(0;3)
 x - 2y + 1 = 0 
0,5
+ Xỏc định A2 : 
 Gọi (d2) là đường thẳng thoó món : (d2) đi qua A 
 (d2) ^ (dC) 
Û (d2) đi qua A ( 2; -1) 
 nhận vộc tơ phỏp tuyến = (1; -1) 
 Û (d2) : x - y - 3 = 0 
Gọi F = (d2) (dC). Toạ độ điểm F là nghiệm của hệ : 
 x - y - 3 = 0 ị F (0; -3) Vỡ F là trung điểm AA2 ị A2(-2; -5)
 x + y + 3 = 0 
0,5
Vậy phương trỡnh BC được xỏc định : 
 BC đi qua A1 Û BC : 4x - y + 3 = 0 
 đi qua A2 
0,5
	*Ghi chỳ : Nếu học sinh giải cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa.
	Người lập đỏp ỏn 
	 Lờ Thị Minh