Đề thi học sinh giỏi toán 6 năm học 2013- 2014

Quận hai bà Trưng – tp Hà NỘI 
Năm học 2013 – 2014
(150 phỳt)
Bài 1 (5,5đ):
1, Cho biểu thức: A = 
a, Tỡm cỏc số nguyờn n để biểu thức A là phõn số.
b, Tỡm cỏc số nguyờn n để biểu thức A là số nguyờn.
2, Tỡm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 24). 73= 2. 74
c, 
3, Bạn Hương đỏnh số trang sỏch bằng cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đó dựng bao nhiờu chữ số ? Trong những chữ số đó sử dụng thỡ cú bao nhiờu chữ số 0 ?
Bài 2 (2đ):
Cho đoạn thẳng AB. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm M, trờn tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN.
So sỏnh độ dài cỏc đoạn thẳng BM và AN.
Bài 3 (2,5đ):
Cho . Vẽ tia phõn giỏc OZ của gúc XOY; vẽ tia OT nằm trong gúc XOY sao cho .
1, Chứng tỏ rằng tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY.
2, Tớnh số đo gúc ZOT.
3, Chứng tỏ rằng tia OT là tia phõn giỏc của gúc ZOY. 
Huyện Nga sơn – thanh hoa
Năm 2012 – 2013
(150 phỳt)
Bài 1 (3đ):
1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 
a, Chứng minh: S 126
b, Tỡm chữ số tận cựng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với mọi n Z
Bài 2 (2đ):
Tỡm a, b N, biết: a + 2b = 48 
 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
Bài 3(1,5đ):
1, Chứng minh cỏc phõn số bằng nhau:
2, Chứng minh: (n Z) tối giản
Bài 4 (2,5đ):
Bạn Hương đỏnh 1 cuốn sỏch dày 284 trang bằng dóy số chẵn.
a, Bạn Hương cần bao nhiờu chữ số để đỏnh hết cuốn sỏch đú ?
b, Trong dóy số trờn thỡ chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
Bài 5 (1đ):
Tớnh:
Huyện quế võ – bninh
Năm 2007 – 2008
(120 phỳt)
Cõu 1 (6đ):
1, Cho biểu thức B = 
 a, Tỡm n nguyờn để B là phõn số.
 b, Tỡm n nguyờn đẻ B là số nguyờn.
2, Tỡm x biết:
 a, x chia hết cho 12,25,30 và 0 < x < 500.
 b, (3x – 24).73 = 2.74
 c,| x – 5 | = 16 + 2.( –3 ) 
Cõu 2 (4đ):
 Đụng nghĩ ra 1 số tự nhiờn cú 3 chữ số, nếu bớt số đú đi 8 đơn vị thỡ được số chia hết cho 7, nếu bớt số đú đi 9 đơn vị thỡ được số chia hết cho 8, nếu bớt số đú đi 10 đơn vị thỡ được số chia hết cho 9
Hỏi Đụng nghĩ ra số nào ?
Cõu 3 (5đ):
 Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ chứa Ox vẽ cỏc gúc xOy bằng m độ, gúc xOz bằng n độ (m < n). Vẽ tia phõn giỏc Ot của gúc xOy và tia phõn giỏc Ok của gúc xOz.
 1, Tớnh gúc tOk theo m và n.
 2, Để tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oz thỡ giữa m và n phải cú điều kiện gỡ ? 
Cõu 4 (3đ):
 Cho x 1 + x2 + x3 + . . . + x50 + x51 = 0 
và x 1 + x2 = x3 + x4 = x49 + x50 = x 50 + x51 = 1.
 Tớnh x50 ?
Cõu 5 (2đ):
 Chứng minh : và 2n + 1 nguyờn tố cựng nhau với mọi n N.
đề số 4
Bài 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là hợp số.
2) Hãy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: (2 điểm)
Hãy thay các chữ số vào các chữ cái x, y trong để N chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm) 
Vòi nước I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nước II chảy vào đầy bể trong 11 giờ 40 phút. Nếu vòi nước I chảy vào trong 3 giờ; vòi nước II chảy vào trong 5 giờ 25 phút thì lượng nước chảy vào bể ở vòi nào nhiều hơn. Khi đó lượng nước trong bể được bao nhiêu phần trăm của bể.
Bài 4: (2 điểm) 
 Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngược lại cũng được một số có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu giữa số lớn và số bé của hai số đó thì được 396. Bạn Dung cũng nghĩ ra một số thoả mãn điều kiện trên.
Hỏi có bao nhiêu số có tính chất trên, hãy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì hiệu giữa tổng các chữ số “ đứng ở vị trí chẵn” và tổng các chữ số đứng ở “vị trí lẻ”, kể từ trái qua phải chia hết cho 11.
(Biết và chia hết cho 11)
Đề Số 5
Câu 1: (4 điểm)
a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số ; ; cho phân số ấy ta được kết quả là các số tự nhiên.
b) Cho a là một số nguyên có dạng: a = 3b + 7. 
Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? tại sao ?
a = 11; 	a = 2002; 	a = 11570 ; 
a = 22789; 	a = 29563; 	a = 299537.
Câu 2: (6 điểm)
1) Cho 
a) Tính A.
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?
2) Cho và 
So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
 Có 3 bình, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót hết lượng nước đó vào hai bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ được 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2 dung tích. 
Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít.
Câu 4: (4 điểm)
 Cho ∆ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 800, BAC = 600 . Tính CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (2 điểm) 
Cho và ( Với n ẻ N, ).
Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Đề Số 6
Câu 1: (4 điểm) 
Hãy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong các câu sau:
a) Nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 2 thì p. q là số lẻ.
b) Tổng hai số nguyên tố là hợp số.
c) Nếu a a.
d) Từ đẳng thức 8. 3 =12. 2 ta lập được cặp phân số bằng nhau là: 
g) Nếu n là số nguyên tố thì là phân số tối giản.
h) Hai tia CA và CB là hai tia đối nhau nếu A, B, C thẳng hàng.
k) Nếu góc xoy nhỏ hơn góc xoz thì tia ox nằm giữa hai tia oy và oz.
Câu 2: (6 điểm)
1. Cho 
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
2. Cho . 
So sánh A với 1 ?
3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (5 điểm)
1. Một lớp học có chưa đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loại giỏi, còn lại xếp loại khá. 
Tính số học sinh khá của lớp.
2. Có thể rút gọn (n ẻ Z) cho những số nguyên nào ?
Câu 4: (3 điểm) 
Trên tia Ax lấy hai điểm B, C sao cho AB = 5cm; BC = 2 cm. 
a) Tính AC.
b) Điểm C nằm ngoài đường thẳng AB biết 550 và 250. Tính góc AOC ?
Câu 5: (2 điểm) 
Tìm số tự nhiên n biết: 
Đề Số 7
 Câu 1: (2 điểm)
1) Rút gọn 
2) Cho 
Chứng minh: S < 1
3) So sánh: và 
 Câu 2: (2 điểm) 
1) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P +10 là số nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
3)Cho phân số: 
 	a) Tìm n để A nguyên. 
 	b) Tìm n để A tối giản . 
Câu 3: (2 điểm) 
Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì I tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là cuối học kì II có thêm 1 học sinh khá trở thành loại giỏi. Nên tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là . 
Tính số học sinh của lớp ? 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB. Với bờ là đường thẳng OA ta vẽ tia Oy sao cho : AOy > AOB. Chứng tỏ rằng :
 a) Tia OB nằm giữa 2 tia Ox, Oy 
 b) xOy = (AOy + BOy ) : 2
Câu 5: (1điểm)
Cho n ẻ z chứng minh rằng: 5n -1 chia hết cho 4
đề số 8
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Tìm x biết:
Bài 2: (2 điểm)
So sánh: 
 	 và 
Bài 3: (2 điểm) 
Chứng minh rằng số:
 	 là hợp số.
Bài 4: (2 điểm)
 Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ 6 có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của Hồng gấp đôi số kẹo của Lan. 
Tính số kẹo nhận được của mỗi bạn.
Bài 5: (2 điểm)
 Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhỏ hơn 900.
a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là tia phân giác của các góc xOz và góc zOy. Tính góc MON ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng 350.
đề số 9
Câu 1: (6 điểm)
Tính một cách hợp lí giá trị của các biểu thức sau:
Câu 2: (5 điểm)
1) Tìm các giá trị của a để số 
a) Chia hết cho 15
b) Chia hết cho 45
2) Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến. Thời gian cả đi và về của xe thứ nhất là 42 phút, của xe thứ hai là 48 phút, của xe thứ ba là 36 phút. Mỗi chuyến khi trở về bến, xe thứ nhất nghỉ 8 phút rồi đi tiếp, xe thứ hai nghỉ 12 phút rồi đi tiếp, xe thứ ba nghỉ 4 phút rồi đi tiếp. 
Hỏi 3 xe lại cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Câu 3: (3 điểm)
 Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 5p +1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 7p +1 là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)
 Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM sao cho góc BMO = 200. Biết góc AOB = 1440.
a) Tính góc MOC.
b) Gọi OB’ là tia đối của tia OB, ON là phân giác của góc AOC. Chứng minh OA là phân giác của góc NOB’.
Câu 5: (2 điểm)
Thay các chữ số thích hợp (các chữ khác nhau thay bằng các chữ số khác nhau)
Đề số 10
Câu 1: (2 điểm) 
Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:
1) Số 32450 có số ước là:
A. 18 ; 	B. 24; 	C. 75 ; 	D. 42
2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470 ; 	B. 217; 	C. 2107 ; 	D. 30
3) Cho không chia hết cho 3. Hỏi phải viết số ngày liên tiếp nhau ít nhất bao nhiêu lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?
A. 2 lần; 	B. 3 lần; 	C. 4 lần
4) Cho N = 1494. 1495. 1496 thì N chia hết cho:
A. 140 ; 	B. 195 ; 	C. 180
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho đẳng thức: 152 - 53 = 102
Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hãy chuyển vị trí một chữ số để được đẳng thức đúng ?
b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ được số dư bằng hai lần bình phương của số thương.
Câu 3: (2 điểm)
a) Một người nói với bạn: “Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì của số tuổi của tôi sẽ lớn hơn của thời gian tôi còn phải sống là 3”. Hỏi người ấy bây giờ bao nhiêu tuổi ?
b) Một số tự nhiên chia cho 4 thì dư 3, chia cho 17 thì dư 9 còn chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 thì dư bao nhiêu ?
Câu 4: (2 điểm) 
Người ta viết dãy số tự nhiên liên tiếp: 4; 11; 18; 25.Hỏi:
a) Số 2007 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
b) số thứ 659 là số nào ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
a) Chứng tỏ OA < OB.
b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
Đề số 11
Câu 1: (6 điểm) 
Tính nhanh
a) 2. 3. 4. 5 .7. 8. 25. 125
b) 
c) 
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
Câu 3: (3 điểm)
 Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. Giang đưa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và được trả lại 72000 đồng. Trang nói “Cô tính sai rồi”. Bạn hãy cho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Câu 4: ( 5 điểm)
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB và P là điểm chia cạnh CD thành hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN. Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. 
Hãy tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các chữ số a và b để số chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm) 
a) Tính 
b) So sánh: và 
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x - 3 chia hết cho x - 2.
b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mãn và (a, b) = 1
Câu 3: (2 điểm)
 Số học sinh của một trường học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng 20 người hoặc 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ. 
Tính số học sinh của trường đó biết rằng số học sinh của trường đó chưa đến 1000.
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho hai góc xOy và xOz, Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc xOm trong các trường hợp sau:
a) Góc xOy bằng 1000; góc xOz bằng 600.
b) Góc xOy bằng a ; góc xOz bằng b (a > b ).
Bài 5: (1 điểm)
 Chứng minh rằng: chia hết cho 27 (n là số tự nhiên).
Đề số 13
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng: 
b) Chứng minh: 
Câu 2: (2 điểm) Cho 
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
b) Tìm giá trị nguyên dương của n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 3: (2 điểm)
a) Có hay không một số K nguyên dương sao cho khi chia cho 1993 có các chữ số tận cùng là 0001.
b) Vòi nước thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 6 giờ 45 phút. Lúc đầu người ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một thời gian bằng thời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mở vòi thứ hai. 
Hỏi bao nhiêu phút sau khi mở vòi thứ nhất thì bể đầy nước.
Câu 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB và M2 là trung điểm của M1B.
a) Chứng tỏ rằng M1 nằm giữa hai điểm A, M2. Tính độ dài đoạn thẳng AM2 .
b) Gọi M1, M2 , M3 , M4 , lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, M1B, M2B, M3B,  
Tính độ dài của đoạn thẳng AM8 .
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn:
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng: 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai chữ số 3.
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z sao cho: 
b) Tìm hai số nguyên tố a và b sao cho: 
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho 25 số tự nhiên được lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, 9. 
Chứng minh rằng: trong các số này ta tìm được hai số bằng nhau.
b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm , đạt điểm khá chiếm , đạt điểm yếu chiếm tổng số thí sinh dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình. 
Tính số học sinh mỗi loại.
Câu 4: (3 điểm)
Cho góc xOy bằng 1000 , góc yOz bằng 1300.
a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz của góc yOz.
b) Tính góc tOv.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: chia hết cho 81 (n là số tự nhiên).
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Tìm x biết 
Câu 2: (3 điểm)
1. Cho 
a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng .
c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ?
2) Tìm n ẻ Z để 
Câu 3: (2 điểm )
 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Một ô tô đi từ A đến B hết 2,5 giờ và đi từ B đến A hết 4 giờ. Khi lên dốc (cả lúc đi và lúc về) vận tốc của ô tô là 20 km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30 km/h. 
Tính quãng đường AB.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của góc xOy sao cho xOz = yOt = 400.
a) So sánh góc xOt và yOz.
b) Cho góc zOt = 200 . Tính góc xOy.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 14 số đó tồn tại 2 số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ số chia hết cho 13.
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho 
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b) Cho số 123456789. Hãy đặt một số dấu “+” và “-“ vào giữa các chữ số để kết quả của phép tính bằng 100.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố.
b) Cho n ẻ N và n > 3. Chứng minh rằng nếu (0< b <10) thì a. b chia hết cho 6.
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên có ƯCLN bằng 12, ƯCLN của chúng, BCNN của chúng là bốn số khác nhau và đều có hai chữ số.
b) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.
Chứng minh rằng A - B là một số chính phương.
Bài 4: (3 điểm)
 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ các tia Oy, Oz, Ot sao cho 
xOy < xOz < xOt . Chứng tỏ rằng:
a) yOz < yOt
b) Các tia Oz, Ot thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy.
c) Tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot.
Bài 5: (1 điểm)
 Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đề số 17
Câu 1: (2 điểm)
a) Rút gọn: 
b) Tính x biết: 
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho 
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.
Câu 3: (2, 5 điểm)
Hai xe ô tô đi từ hai địa điểm A và B về phía nhau, xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ, xe thứ hai khởi hành tử B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ. 
Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ.
Câu 4: (2 điểm)
Cho 3 tia chung gốc OA, OB, OC. Tính BOC biết rằng:
a) AOB = 130 ; AOC = 300
b) AOB = 1300 ; AOC = 800
Câu 5: (1 điểm)
Viết thời gian trong một ngày(tính bằng giây) bằng cách dùng chữ số La Mã.
Đề số 18
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tìm chữ số tận cùng của số A = 
b) So sánh: ; 
Bài 2: (2 điểm)
a) Một số A nếu chia cho 64 thì dư 38, nếu chia cho 67 thì dư 14. Cả hai lần chia đều có cùng một thương số. 
Tìm thương và số A đó.
b) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng sao cho cũng là số nguyên tố và hiệu là số chính phương.
Bài 3: (2 điểm)
Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc (theo chiều (AB). Khi lên dốc người đó đi với vận tốc 10 km/h và xuống dốc với vận tốc 15 km/h. Lúc đi hết 3h 30’ , lúc về hết 4 h. 
Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm) 
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AM. Từ một điểm O thuộc AM. Vẽ các tia OB, OC, OD sao cho; MOC = 1150 ; BOC = 700 ; AOD = 450 (D nằm trong nửa mặt phẳng đối với B, C qua bờ là AM).
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? Vì sao ?
b) Tính góc MOB, AOC.
c) Chỉ rõ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm)
Cho . Chứng tỏ rằng P > 50
Đề số 19
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính: 
b) Có tồn tại a, b hay không để 55a + 30 b = 3658.
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu P và 2P +1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là số hợp số.
b) Tìm một số tự nhiên chia hết cho 5 và chia hết cho 27 mà chỉ có 10 ước.
Bài 3: (2 điểm) 
Ba vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy thì giờ đầy bể; nếu vòi II và vòi III cùng chảy thì sau giờ thì đầy bể, còn vòi I và vòi III cùng chảy thì sau 8 giờ đầy bể. 
Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể.
Bài 4: (3 điểm)
Cho góc xoy có số đo bằng 1200 . Vẽ tia oz sao cho yoz = 300.
a) Tính số đo góc xoz.
b) Một đường thẳng a cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C . Biết AB = 8cm; BC = 5 cm. Tính AC ?
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: và B = 2.
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính nhanh: 
b) So sánh: và ; và .
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho 
Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.
b) Tìm x, y nguyên tố biết: 
Bài 3: (2 điểm)
Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5, trong đó 3/8 số nữ là học sinh lớp 6. Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 là số học sinh lớp 6. Biết số học sinh dự hội nghị khoảng từ 100 đến 150. 
Tính số học sinh nam, số học sinh nữ lớp 6.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm giữa M và B.
a) Biết ABC = 850 , ACM = 500 , BCN = 200 . Tính BCM và MCN.
b) Biết AN = a, BN = b. Tính MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tính 
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Tính:
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
a) Viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho 5, 7, 9.
b) Một số chia cho 4 dư 3; chia cho 17 dư 9; chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu ?
Câu 3: (2 điểm) 
Đường từ A đến b gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một người đi xe đạp lên dốc với vận tốc 10 km/h và xuống dốc với vận tốc 15 km/h. Biết rằng người ấy đi từ A đến B rồi lại từ B về A thì hết tất cả 3 giờ. 
Tính quãng đường AB.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hai góc kề nhau xoy, xoz sao cho xoy = 1000 , xoz = 1200
a) Tia ox có nằm giữa hai tia oy ; oz không ?
b) Tính yoz
c) Tính xoy + yoz + zox
Câu 5: (1 điểm)
Số 5100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số.
Đề số 22
Câu 1: (2 điểm)
 a) Tính 
 b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với
Câu 2: (2 điểm)
 a) Tìm số nguyên tố P sao cho P + 6 , P + 12, P + 34, P + 38 là các số nguyên tố.
 b) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:
 ; ; 
Câu 3: (2 điểm)
 Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em, lúc tuổi anh bằng tuổi hiện nay của người em. Đến khi tuổi em bằng tuổi hiện nay của người anh thì tổng số tuổi của hai anh em là 35. Tính tuổi anh, tuổi em hiện nay.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hai tia Ox, Oy đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho góc xOz = 300 ; góc yOt = 750
 a) Tính góc zOt
 b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
 c) Tính góc zOt nếu góc xOz = a , góc yOt = b 
Câu 5: (1 điểm)
 Chứng minh rằng: 
Đề số 23
Bài 1: (2 điểm)
	a) Tính: 
 b) Tìm chữ số x để 
Bài 2: (2 điểm) 
 Tổng bằng với là phân số tối giản.
Chứng minh rằng: .
Bài 3: (2 điểm) 
 Hai địa điểm A và B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A về B và một xe đạp đi từ B về A gặp nhau sau 1 giờ 12 phút (hai xe cùng khởi hành). Sau đó ô tô tiếp tục đi về B rồi lại quay về A ngay với vận tốc cũ, ô tô gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặp nhau lần trước. 
 Tính vận tốc ô tô và xe đạp.
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz < 900.
 a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là các tia phân giác của các góc xOz và zOy. Tính góc On.
 b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOZ = 350
 c) Vẽ (O; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lượt tại các điểm A, B, C, D, E với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những đường thẳng đó.
Câu 5: (1 điểm) 
 Cho a, b, c là các số nguyên dương tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dương không ?
Đề số 24
Câu 1: (2 điểm) Tính
 a) 
 b) 
Câu 2: (2 điểm)
 a) Chứng minh rằng: chia hết cho 72.
 b) Cho và 
 So sánh A và B.
 c) Tìm số nguyên tố p để p + 6, p + 8, p + 12 , p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (2 điểm)
 Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho DABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
 a) Tính độ dài BM.
 b) Biết BAM = 800 ; BAC = 600 . Tính CAM
 c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 
Đề số 25
Câu 1: (2 điểm) 
 Tính giá trị các biểu thức sau bằng phương pháp hợp lí:
 a) 
 b) 
Câu 2: (2 điểm)
 Cho 
 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
Câu 3: (2 điểm)
 Hai lớp 6A và 6B trồng cây. Số cây lớp 6A trồng bằng số cây lớp 6B trồng. Nếu mỗi lớp đều trồng thêm được 15 cây nữa thì số cấy lớp 6B trồng bằng số cây lớp 6A. 
 Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ?
Câu 4: (3 điểm)
 Cho đường thẳng x’x và một điểm O thuộc đường thẳng ấy. Hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ x’x và có chứa điểm A. Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400
 a) Tính các góc xOA, x’OB.
 b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm các số nguyên x, y sao cho: 
Đề số 26
Bài 1: (2 điểm)
 a) Tính hợp lí 
 b) Tìm phân số nhỏ nhất khác 0 mà khi chia phân số này cho các phân số ; ta được kết quả là một số tự nhiên.
Bài 2: (2 điểm)
 a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho viết nó liên tiếp sau số 1999 thì được một số chia hết cho 37.
 b) Tìm số chia và thương của một phép chia có số bị chia là 145, số dư là 12 biết thương khác 1, số chia và thương đều là số tự nhiên.
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
b) Gọi S(N) là tổng các chữ số của N. Tìm N biết N + S(N) = 94.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho các tia OB, OC thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là tia phân giác của BOC. Tính AOM biết rằng:
 a) AOB =100 ; AOC = 600
 b) AOB = m ; AOC = n (m > n)
 c) Vẽ p tia chung gốc. Trong hình vẽ có bao nhiêu góc.
Bài 5: (1 điểm)
 Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phương:
Đề số 27
Bài 1: ( 2 điểm) Tính nhanh:
 a) 
 b) 
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu 3a + 4b + 5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên nào đó của a, b, c thì biểu thức 9a + b + 4c với các giá trị đó của a, b, c cũng chia hết cho 11.
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các chữ số khác nhau. Tìm ƯCLN của tất cả các số lập được.
Bài 3: (2 điểm)
1) Người ta lấy một tờ giấy xé thành 5 mảnh sau đó lại lấy một số mảnh này xé mỗi mảnh thành 5 mảnh nhỏ hơn. Hỏi sau một số lần xé liên tục như vậy ta có thể có được 2004 mảnh, 2005 mảnh hay không ?
2) Tìm số có hai chữ số khác nhau dạng sao cho cũng là số nguyên tố và hiệu là số chính phương.
Bài 4: (3 điểm) 
Cho đường thẳng x’x và một điểm O thuộc đường thẳng ấy. Hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa của mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối vủa nửa mặt phẳng bờ x’x có chứa điểm A. Biết xOB = 1150; AOB = 750 ; x’OC = 400.
a) Chứng minh rằng OA nằm giữa hai tia OB, Ox.
b) Tính xOA, x’OB.
c) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm) 
Tính giá trị của biểu thức: 
Đề số 28
Bài 1: (2 điểm) 
Cho 
a) Chứng minh: B chia hết cho 
b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên để nguyên.
b) So sánh A với 1, biết: 
Bài 3: (2 điểm) 
 Để trở hết một số hàng có thể dùng một ô tô lớn chở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ chở 15 chuyến. Ô tô lớn chở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ chở tiếp cho xong. Như vậy 2 xe chở tổng cộng 14 chuyến. 
Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến?
Bài 4: (2 điểm) 
 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9 và tổng của hai số đó là một số có đặc điểm sau:
Có 3 chữ số
Là một bội số của 5
Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 9
Tổng của chữ số hàng trăm và chữ hàng chục chia hết cho 4.
Bài 5: (2 điểm) 
 Cho góc AOB. Goi Ot là tia phân giác của góc AOB, Om là tia phân giác của góc AOt. 
Tìm giá trị lớn nhất của góc AOm.
Đề số 29
Bài 1: (5 điểm)
1) Biết rằng số chia hết cho