Đề thi học sinh giỏi toán 6 năm học 2013 – 2014 thời gian làm bài 120 phút

TRƯỜNG THCS THANH THÙY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
 Năm học 2013 – 2014
 Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1(4 điểm): 
 Cho số có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tùy ‎‎‏‎y thì số đó luôn chia hết cho 396.
Bài 2(5 điểm): 
Tìm x, y sao cho .
 b) Cho a, b. c, d . Biết tích ab là số liền sau của tích cd và a + b = c + d. Chứng minh rằng a = b. 
Bài 3(2 điểm): Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 4(4 điểm):
 Cho các phân số và . Tìm phân số nhỏ nhất mà khi chia cho mỗi phân số đó ta được một số nguyên ?
Bài 5(5 điểm): Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm; OB = 4cm.
 a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa hai điểm O và B; điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
 b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho . Tính số đo ?
Duyệt của tổ chuyên môn
Duyệt của BGH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 6
Năm học 2013 -2014
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4 đ)
 Ta nhận thấy vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 
{1; 2; 3} nên tổng của chúng luôn bằng 1 + 2 + 3 = 6.
 Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4; 9; 11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = chia hết cho 4; 9 và 11.
Thật vậy:
+) A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16.
+) A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9.
+) A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0.
 Vậy A 396.
0,5đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
Bài 2
(5đ)
a) 
 , mà 2y + 1 là số lẻ nên 2y + 1 là ước lẻ của 30.
 Lập bảng tìm được x, y. 
 Vậy có 8 cặp (x, y) thỏa mãn đề bài là (2; 7), (-2; -8), (6; 2), (-6; -3), (10; 1), (-10; -2), (30; 0), (-30; -1).
b) Ta có: a + b = c + d d = a + b – c.
 Vì ab là số liền sau của cd nên ab – cd = 1.
 Suy ra: ab – c(a + b – c) = 1
 ab – ac – bc + c2 = 1
 a(b – c) – c (b – c) = 1
 (b – c)(a – c) = 1
 a – c = b – c (vì cùng bằng 1 hoặc – 1)
 a = b (đpcm).
0,5đ
1,0đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3
(2đ)
B = = .
B đạt GTLN khi đạt GTLN. Vì 11 > 0 và không đổi nên đạt GTLN khi 2n – 5 > 0 và đạt GTNN. Suy ra 2n – 5 = 1n = 3.
 Vậy B đạt GTLN là + 11 = 13,5 khi n = 3. 
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 4
(4đ)
Gọi phân số phải tìm là (x, y và (x, y) = 1)
Ta có: ; 
Vì kết quả là một số nguyên nên 396x 35y và 297x 28y
Mà (396; 35) = 1 ; (297; 28) = 1 và (x; y) = 1 
 396 y và 297 y ; x35 và x 28
Để nhỏ nhất khi x nhỏ nhất và y lớn nhất. Do đó:
x = BCNN(35; 28) = 140
y = ƯCLN(396; 297) = 99
Vậy phân số phải tìm là .
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,25đ
Bài 5
(5đ)
a) Trên tia Oy có OM < OB (vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B
 OM + MB = OB MB = OB – OM = 3cm (1)
Vì Ox, Oy đối nhau mà AOx, MOy nên O nằm giữa A và M
 AM = AO + OM = 3cm (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB = MA = 3cm hay M là trung điểm của AB.
b)
TH1: Ot và Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ xy: 
TH2: Ot và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy: 
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
1,5đ
1,5đ
Duyệt của tổ chuyên môn
Duyệt của BGH