Đề thi học sinh giỏi toán 8 Năm 2007 – 2008 Huyện Quế Võ – Bắc Ninh

Huyện quế võ – bninh
Năm 2007 – 2008
(120 phỳt)
Bài 1 (4đ):
 1/ Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giỏc. Chứng minh rằng: 
 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài 2 (3đ):
 Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thỡ :
 − = 
Bài 3 (5đ): 
Giải phương trỡnh:
 	1, + = + 
 	2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ):
 Cho ∆ABC vuụng tại A. Vẽ về phớa ngoài ∆ đú ∆ABD vuụng cõn tại B và ∆ACE vuụng cõn tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
 1, AH = AK
 2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ): 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
đề thi học sinh giỏi thị xã BN
Năm học: 2004 – 2005
Thời gian 150 phút
Bài 1:
Rút gọn biểu thức:
A = với /x/ = 1
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B = 
Bài 2: 
Giải phương trình:
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
Tìm x để biểu thức:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3: 
Tìm số tự nhiên x sao cho: x2 + 21 là số chính phương ?
Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì:
(m – 1).(n – 1) 192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.
Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.
Chứng minh: AM là tia phân giác của .
Vẽ AI HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
Gải phương trình:
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
Cho a, b, c R+ và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 
Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 
b) 
2) Giải phương trình
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức chia hết cho đa thức .
2) Tìm dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn .
CMR: 
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. 
CMR: bằng một hằng số.
Câu V: (1 điểm): 
 Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. 
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông. 
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
Đề số 5
Bài 1: (2điểm) 
 Cho biểu thức: 
1) Rút gọn M.
2) Tìm giá trị x để M > 0.
Bài 2: (2điểm) 
Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu.
Bài 3: (1điểm) 
Tìm x, y nguyên sao cho: 
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng: 
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm) 
Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 
 Tính 
Đề số 6
Câu I: (5 điểm) 
Rút gọn các phân thức sau:
1) 
2) 
Câu II: (4 điểm)
1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì chia hết cho 13.
2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
3) Giải phương trình: 
Câu III: (4 điểm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. 
Nếu công việc trên được giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành.
Câu IV: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh 
Câu V: (2 điểm)
Giải phương trình: 
Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1. Thực hiện phép chia cho . Tìm x Z để A chia hết cho B.
2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)
1. So sánh A và B biết:
 và 
2. Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.
Câu III: (2điểm)
1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?
2. Cho đa thức f(x) = . Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức .
Câu IV: (3điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE.
1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chứng minh AB. CF = AC. AE
3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên:
Đề số 8
Câu 1: (2điểm)
a) Cho 
Tính 
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương.
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
Câu 3: (2 điểm) 
 Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Đề số 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho 
a) Rút gọn M.
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm x biết : 
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x và y thoả mãn: 
Tính 
b) Cho a, b, c thoả mãn: 
Chứng minh: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh IM = IN.
b) Chứng minh: 
c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đường thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lượt tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK.
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b.
Đề số 10
Câu 1: (2 điểm) 
 Phân tích đa thức thành nhân tử:
 a) 
 b) 
 c) 
Câu 2: (2 điểm)
 1) So sánh A và B biết: và 
 2) Cho và .
 Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3: (2 điểm)
 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2) Giải phương trình: 
 3) Chứng minh rằng: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. 
 a) Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
 b) Chứng minh AF2 = FK. FC.
 c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: 
b) Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006
Chứng minh rằng: 
b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho . Chứng minh rằng: .
Câu 3: (2 điểm)
Cho phân thức:
a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF.
a) Chứng minh: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB.
Câu 5: (1 điểm)
a) Chứng minh rằng với "n ẻ N và n > 3 thì:
b) Giải phương trình:
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 
b) 
c) 
2) Rút gọn:
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì dư 2, f(x) chia cho x-3 thì dư 7, 
f(x) chia cho x2 - 5x + 6 thì được thương là 1-x2 và còn dư.
2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên.
Câu 3: (2 điểm)
Giải phương trình:
a) 
b) 
Câu 4: (3 điểm)
Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lượt tại E, K, G. Chứng minh rằng: 
1) 
2) 
3) Khi đường thẳng d xoay quanh điểm A. Chứng minh: BK. DG = const.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau:
 (với x > 0)
Đề số 13
Câu 1: (6 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;
a) 
b) 
c) 
Câu 2Câu (4 điểm)
Cho và . Chứng minh rằng:
CâuCâu 3 (4 điểm)
Cho biểu thức ()
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
Câu 4: (6 điểm)
 Vẽ ra phía ngoài tam giác nhọn ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CE. H là hình chiếu của N trên AC, từ H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I.
a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN.
b) Tính các góc của tam giác MNI.
c) Giả sử góc BAC = 900 , AB = a, AC = b. Tính diện tích tam giác MIN theo a, b.
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: 
b) Rút gọn: 
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. 
Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trình: (a là hằng số).
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.
c) Chứng minh: góc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Câu 5: (1 điểm) 
Chứng minh rằng số:
 là số chính phương. ().
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm)
Cho 
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:
 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 3: (2 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng;
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) 
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm) 
a, Giải phương trình
b) Cho x, y thoả mãn: .
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho với ; ; .
Chứng minh rằng: .
Bài 3: 
Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên.
Với 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho ∆ABC cân tại A (AB = AC > BC). Trên cạnh BC lấy M sao cho MB < MC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng EF.
a) Cho AB =1002,5 cm. Tính chu vi tứ giác AEMF.
b) Chứng minh tứ giác ANEF là hình thang cân.
c) AN cắt BC tại H. Chứng minh HB. HC = HN. HA
Bài 5: (1 điểm)
Cho đa thức 
Tìm a, b, c biết ; ; 
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
2) Cho và . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 2: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn M.
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
Bài 3: (2điểm)
Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu.
Bài 4: (3 điểm) 
	 Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. 
 a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
 b) Chứng minh DAKF đồng dạng với DCAF và AF2 = FK. FC
 c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Bài 5: (1 điểm) 
Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là một số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, ).
Chứng minh rằng: là số chính phương.
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm)
Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > 1.
Câu 3: (2 điểm)
 Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc một mảnh vườn, và sẽ hoàn thành trong 5 giờ 50 phút. Nhưng sau 5 giờ làm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, một mình anh thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vườn. 
Hỏi nếu làm một mình thì mỗi anh phải làm trong bao lâu?.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng:
a) EF song song với AB.
b) AB2 = CD. EF
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng biểu thức:
 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên.
Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: 
b) Tính: 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mãn: .
Tính giá trị của biểu thức: 
b) Giải phương trình: 
Câu 3: (2 điểm)
Cho (n ẻ N)
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC.
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang.
c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông, hình bình hành.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho . 
 Tính giá trị của : 
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: 
Tính giá trị của biểu thức: 
b) Với . Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2 điểm) 
Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức 
 có giá trị nguyên.
Bài 3: (2 điểm) 
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô cùng đi từ A về B khởi hành lần lượt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 
40 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy.
Bài 4: (3 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O là giao điểm của ba đường trung trực, vẽ ra phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Biết OE = OH. 
Tính số đo góc BAC ?
Bài 5: (1 điểm) 
Giải phương trình: 
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 
b) Tính giá trị của biểu thức: 
 với x = 4.
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
b) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
Chứng minh rằng: 
Câu 3: (2 điểm) 
Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ô tô con cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng ngay sau khi đi được nửa quãng đường AB, xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp nhau tại C cách B 30 km. 
Tính quãng đường AB.
Câu 4 : (3 điểm) 
Một đường thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
a, AE2 = EK. EG
b, 
c, Khi đường thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích 
BK.DG = Const
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đề số 22
Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:
 luôn luôn là số nguyên dương.
b) Rút gọn: 
Câu 2: (2 điểm)
Bạn A hỏi bạn B: “ năm nay bố mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” B trả lời: “ bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng tôi là 14; 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của ba anh em tôi”. 
Tính xem tuổi của bố mẹ bạn B là bao nhiêu ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu: (x, y, z, t ẻ Z ) thì số :
 là tổng các bình phương của ba số nguyên.
b) Tìm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1 điều kiện sai:
1. N + 45 là bình phương của một số tự nhiên.
2. N có chữ số tận cùng là 7.
3. N - 44 là bình phương của một số tự nhiên.
Câu 4: (3 điểm)
 Hai đường chéo AC và BD của hình thoi ABCD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD và AC tại O1 và O2 . Đặt O2A = a ; O1B = b . 
Tính diện tích ABCD theo a, b.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm x, y, z ẻ Z thoả mãn:
Đề số 23
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho với k ẻ N*
Tính tổng S = 
b) Chứng minh rằng: chia hết cho 7 với mọi n nguyên.
Câu 2: (3 điểm)
a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: 
 ; ; 
Tính giá trị của biểu thức: 
b) Chứng minh rằng với x, y ẻ Z thì 
 là một số chính phương.
c) Tìm số dư trong phép chia:
 cho 
Câu 3: ( 2 điểm)
Phương và Hưng có 110.000 đồng. Hai người cùng rủ nhau đi chợ. Phương tiêu mất 1/5 số tiền của mình. Hưng tiêu mất 1/6 số tiền của mình. Số tiền còn lại của Hưng nhiều hơn số tiền còn lại của Phương là 10.000 đồng. 
Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh 
Đề số 24
Câu 1: (2 điểm) 
Giải phương trình:
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
 Tìm tỉ lệ ba đường cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:
b) Tìm số tự nhiên n để là số nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. 
Chứng minh IB, CK là đường cao của tam giác ABC.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c và . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Đề số 25
Câu 1: ( 2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
b) Rút gọn biểu thức:
Câu 2: (2 điểm)
a) Có tồn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số là một số nguyên tố không.
b) Giải phương trình: 
Câu 3: (2 điểm) 
Một người đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút, đoạn đường AB dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đường bằng, cuối cùng là một đoạn xuống dốc. Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km. Nếu vận tốc của người đó lúc lên dốc là 4km/h, lúc đi đoạn đường bằng là 5 km/h, lúc xuống dốc là 6 km/h.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD.
a) Chứng minh: DE = CF và DE ^ CF.
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
Đề số 26
Câu 1: (2 điểm) 
Cho phân thức: (với x ẻ Z)
a) Rút gọn A.
b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0.
Chứng minh rằng nếu: ; ; Thì tổng chia hết cho tổng .
b) Cho đa thức f(x) khi chia cho x-2 thì dư 5, khi chia cho x-3 thì dư 7, còn khi chia cho thì được thương là và còn dư.
 Tìm đa thức f(x).
Câu 3: (2 điểm) 
Giải phương trình: 
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho
AF = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi N là giao điểm của FC với AB và M là giao điểm của EC và AD.
a) Chứng minh MD = BN.
b) Kẻ BH ^ AC, gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BH ^ IK.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số bằng 1.
Đề số 27
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho và . Tính giá trị của biểu thức 
b) Rút gọn biểu thức 
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Cho và 
Chứng minh rằng: 
Câu 3: (2 điểm) 
Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã đi. 
Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.
Câu 4: (3 điểm) 
Cho hình vuông ABCD, một góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A của hình vuông, cạnh Ax cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các đường thẳng đó tại P và Q.
a) Chứng minh rằng DANP và DAMQ vuông cân.
b) Biết QM cắt PN ở R; I, K theo thứ tự là trung điểm của PN, QM. Tứ giác AKRI là hình gì ?
c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đường thẳng, từ đó suy ra đường thẳng IK cố định khi góc vuông xAy quay quanh đỉnh A.
Câu 5: (1 điểm)
Cho . Chứng minh rằng: 
Đề số 28
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Câu 2: (2 điểm) 
Cho ; ; 
Chứng minh: 
Câu 3: (2 điểm) 
Tìm số nguyên dương A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:
P = “A+ 45 là bình phương của một số tự nhiên”.
Q = “A tận cùng là chữ số 7”.
R = “A - 44 là bình phương của một số tự nhiên”.
Câu 4: (3 điểm) 
Cho hình vuông ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên BD, ME ^AB; MF ^ AD 
(E ẻ AB, F ẻ AD).
a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.
b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên để y nguyên: 
Đề số 29
Câu 1: (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức:
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho và b > a > 0. Tính 
b) Tìm x, y biết: 
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 dư 3, b chia cho 19 dư 2 thì chia hết cho 19.
b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính ph