Đề thi học sinh giỏi toán 8 Năm học 2013-2014 THCS TAM HƯNG

THCS TAM HƯNG 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 
Năm học 2013-2014
Câu 1: Tìm x(6đ)
a)x4 + 2014x2 + 2013x + 2014 =0.
b) = 4x + 18
Câu 2:(5đ) 
Cho P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6
a)Cho x N* chứng minh rằng P(x) 6
b)Giải phương trình P(x) = 0
Câu 3(2đ) Cho thỏa mãn a +b +c =0
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 +c2
Câu 4(7đ) Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB.Lấy điểm C trên Ax,điểm D trên tia By sao cho .
a)Chứng minh .
b)Chứng minh CD = AC + BD.
c)Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O đến CD .Xác định vị trí của CD để OM nhỏ nhất .
- Hết-
Đáp án
Câu 1. Tìm x :
x4 + 2014 x2 +2013 x + 2014 = 0 (1)
 (x4 – x) + 2014(x2 +x +1) = 0 (0,5đ)
 x(x3 – 1) + 2014(x2 +x +1) = 0 (0,5đ)
 (x2 +x +1)(x2 – x +2014) =0 (0,5đ)
 Vì (x2 +x +1) >0 với mọi x (0,5đ)
 (x2 – x +2014) >0 với mọi x(0,5đ)
Kết luận phương trình (1)vô nghiệm (0,5đ)
b) = 4x + 18 (2)
Với x0 suy ra = - 2x (0,5đ)
Pt (2) - 2x = 4x +18
 x = - 3 (0,5đ)
Với x>0 thì – 2x <0 suy ra = 2x (0,5đ)
Pt (2) 2x = 4x +18
 x = 9 (0,5đ)
Kết luận pt (2) có tập nghiệm là S = (1đ)
Câu 2
P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6
 = x4 – x3 – 2x3+ 3x2 +2x2 – 3x – 6x +6
 =x3(x – 1) – 2x2(x – 1) + 3x(x – 1) – 6(x – 1)
 = (x – 1)(x3 – 2x2 +3x – 6)
 =(x – 1)(x – 2)(x2+3) (1đ)
Vì x N* nên (x – 1)(x – 2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên trong đó có một bội của 2
Suy ra (x – 1)(x – 2) 2
Suy ra (x – 1)(x – 2)(x2 + 3) 2 (1đ)
Nếu x = 3k thì x2 + 3 = 9k2 +33 nên P(x) 3
Nếu x = 3k +1 thì x - 1 = 3k +1 – 1 = 3k 3 nên P(x) 3
Nếu x = 3k +2 thì x - 2 = 3k +2 – 2 = 3k 3 nên P(x) 3 
Suy ra P(x) 3 mà(2,3) = 1
Kết luận P(x) 6 (1đ)
b)Để P(x) = 0 thì (x – 1)(x – 2)(x2 + 3) = 0 
mà x2 0 với mọi x Suy ra x2 + 3 > 0 với mọi x (1đ)
P(x) = 0 x = 1 hoặc x = 2
Kết luận (1đ) 
3)(2đ) Vì
 (1) 
 (2)
(3)
Cộng từng vế (1),(2),(3) ta có a2 + b2 + c2 a + b +c + 6
Mà a + b +c = 0 Suy ra a2 + b2 + c2 6
Vậy Max A = 6 Hoặc a = b = - 1,c = 2
	 Hoặc b = c = - 1,a = 2
 	 Hoặc a = c = - 1,b = 2
Câu 4:
Vẽ hình đúng (0,5đ)
a)Chứng minh (g.g)(2đ)
b)Xét tứ giác ABDC có CA // BD
Suy ra ABDC là hình thang
Gọi I là trung điểm của CD mà O là trung điểm của AB
Suy ra OI là đường trung bình của hình thang ACDB
Suy ra 2OI = AC + DB (1đ)
Xét tam giác COD có OI là trung tuyến ,suy ra 2OI = CD
Suy ra CD = AC + DB (1đ)
c)Xét COI cân tại I suy ra mà 
do đó (1đ)
 (1đ)
Ta có CD AB. Để CD bé nhất thì CD =AB (0,5đ)
Mà OM vuông góc vói CD Từ đó M là trung điểm của CD(1đ)