Đề thi học sinh giỏi toán 8 vòng I (2003-2004)

Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán 8 vòng I (2003-2004)
Nghĩa Hưng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1:Phân tích đa thức thành nhân tử (4 điểm)
 a).3x2-27x+54 b).bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
 c)x10+x5+1
Câu2:a)Cho các đa thức: A=6x4-7x3+ax2+3x+2 B=x2-x+b
 Xác định hệ số a,b để đa thức A chia hết cho B.
b)Tìm phần dư của phép chia x2+x100+x1000+x2003 cho x2-1 (6điểm)
Câu3:(3điểm)
Tìm m vàp sao cho biểu thức A=m2-4mp+10m-22p+28 đạt giá trị nhỏ nhất,giá trị đó bằng bao nhiêu?
Câu4:(2điểm)
Chứng minh rằng abc=1 thì: 
Câu5:(5 điểm) Cho vuông tại A và H di chuyển trên BC.Gọi E,F lần lượt là điểm đối xứng qua AB,AC của H.
a)Chứng minh E,A,F thẳng hàng.
b) Chứng minhBEFC là hình thang.Có thể tìm được vị trí của H để BEFC là hình thang.Có thể tìm được vị trí H để BEFC là hình thang vuông,hình bình hành,hình chữ nhật không?
c)Khi AB=AC Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất. 

Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán 8vòng II (2003-2004)
Nghĩa Hưng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1:(5 điểm)
Cho M= (x4)
Câu2:(3 điểm)
Cho M= (x-1) Tìm x để A lớn nhất.
Câu3:(4 điểm) Giải phương trình với ẩn x x3+3ax2+3(a2-bc)x+a3+b3+c3-3abc=0
Câu4:(5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H.
a)Trên đoạn HK ,HC lần lượt lấy các điiểm Mvà N sao cho góc Chứng minh rằng AM=AN
b)Lấy hai điểm Evà F theo thứ tự là hai điểm thay đổi trên cạnh AB và cạnh AC của Góc BAC sao cho 2AE=3AF. Tìm vị trị của E,F để 2HE+3HF nhỏ nhất.
Câu5:(3 điểm)
Hãy tìm trong một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác là lớn nhất


Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán7 vòng I (2003-2004)
Nghĩa Hưng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)x3-3x+2 b) (a+b+c)2+(a+b-c)2-4c2 c) x5+x+1	
Câu2: a)Tìm đa thức bậc ba P(x) ,biết khi chia P(x) cho x-1 ; x+1 ; x+3 đều dư 2004 và P(())=2005
b)Cho biểu thức A= Chứng tỏ A không có giá trị nguyên với mọi xạ0 ;xạ-1
Câu3: Cho M=2(x+1)(2x-1)(2x+3)(2x+6) với giá trị nào của x thì M có giá trị nhỏ nhất,giá trị đó bằng bao nhiêu?
Câu4: Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau và Chứng minh rằng 
Câu 5: Cho ,các trung tuyến BD,CE cắt nhau tại G .Điểm Fvà H lần lượt là trung điểm của BG và GC 
Chứng minh rằng EFHD là hình gì ?
 b)Tìm điều kiện để tứ giác EFHD là hình chữ nhật
 c)Khi cân ở A và cạnh đáy BC bằng đường trung tuyến AI và bằng 60 cm .trên các cạnh EF ,FH,HD, DE lần lượt lấy các điểm M,N,P,Q sao cho EM=HN=HP=EQ.tứ giác MNPQ là hình gì ?Hãy xác định vị trí các điểm vừa lấy để diện tích tứ giác MNPQlớn nhất?


Phòng đào tạo Đề thi học sinh giỏi toán7 vòng I (2004-2005)
Nghĩa Hưng Thời gian làm bài:150 phút
Câu1: Với giá trị nguyên nào củax thì biểu thức có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó?
Câu2:Tìm x biết
a)2x+4.2x=5.27 b) c)
Câu 3:Chứng minh rằng nếu Thì 
 a) b) 
Câu4:Cho (góc A nhọn ) .Trên mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng Ax sao cho góc BAx=a. Trên mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng Ay sao cho góc CAy=a. (0<a<45o) Kẻ BP vuông góc với Ax; CQ vuông góc với Ay .M là trung điểm của BC nối P,Q với M 
 a)Chứng minh MP=MQ
 b)Tính số đo các góc của tam giác MPQ theo a


Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (1998-1999)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:Xác định hệ ssố a sao cho 
 a)27x2+a chia hết cho 3x+2
 b)3x2+ax+27 chia hết cho x+5 có số dư bằng 2
Câu2:Cho 3 số a,b,c thỏa mãn abc=1999. Hãy rút gọn biểu thức:
 
Câu3:Cho abc0 và a+b+c0 giải phương trình:
 
Câu4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng bờ là AB các hình vuông AMCD,BMEF
 a)Chứng minh AE vuông góc với BC.
 b)Gọi H là giao điểm của AE và BC .Chứng minh 3 điểm D,H,F thẳng hàng
 c)Chứng minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định 
 d)Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định



Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (1999-2000)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:Tìm số tự nhiên để
 a)Số A=n4+4 là số nguyên tố b)Phân số tối giản
Câu:2Cho biểu thức
A=
 a)Rút gọn b) Tính giá trị của A biết 4a2+b2=5ab và a>b>0
Câu3: Giải phương trình 
 a) b)
Câu4:Cho tứ giác ABCD ;M,N lần lượt là trung âiểm các cạnh BC và CD . Gọi E và F là giao điểm của BD với AM và AN.Chứng minh rằng :nếu BE=EF= FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu5: Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhất ABCD ;M,K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
 a)Gọi Ivà Q theo thứ tự là trung điểm của AB và IC .Chứng minh MO=
 b)Tính số đo góc BMK 
 c)Gọi P và Q lần lượt là hai điểm thuộc đoạn BM và BC.Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?


Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2001-2002)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút
Câu1:(4 điểm) Cho biểu thức
 P=
 a)Rút gọn P b)Có giá trị nào của a,b để P=0?
 c)Tính giá trị của P biết a,b thỏa mãn điều kiện  3a2+3b2=10ab và a>b>0
Câu2:(3,5 điểm) Chứng minh rằng
 a) chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
 b)Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu3:( 3điểm) Giải phương trình
 x4+x2+6x-8=0
Câu4:(3điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 x2=y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu5:(7,5 điểm)
Cho ,0 là giao điểm 3 đường trung trực trong tam giác,H là trực tâm của tam giác .Gọi P,R,M theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC.Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng AH.
 a)Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi.
 b)Chứng minh AQ=OM.
 c)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .Chứng minh H,G,O thẳng hàng.
 d)Vẽ ra ngoài tam giac ABC các hình vuông ABDE,ACFL.Gọi I là trung điểm của EL.Nếu diện tích tam giac ABC không đổi vaBC cố đinh thì I di chuyển trên đường nào?


Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2002-2003)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút Câu1:Tìm số tự nhiên n biết
 a)A=n3-n2+n-1 là một số nguyên tố
 b)C= có giá trị là một số nguyên
 c)D=n4+4n là một số nguyên tố
Câu2: Cho a+b+c=0; abc0
 a)Chứng minh: a3+b3+c3-3abc=0
 b)Tính giá trị của biểu thức:
 P=
Câu3: a)Giải phương trình:
 
 b)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2-y2+2x-4y-10=0
Câu4: Cho hình thang ABCD (ABPCD ),O là giao điểm của hai đường chéo.Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
 a)Chứng minh SAOD=SBOC
 b) Chứng minh OE=OF c) Chứng minh 
 d)Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF.

Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2003-2004) Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút 
Câu1: Cho biểu thức A=
 a)Rút gọn A b)Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu2: Cho x,y,z đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
 Thì ta có:
Câu3: Giải phương trình:
 a)
 b) với x,yẻN
Câu4: Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương .Biết f(0);f(x) là các số lẻ.
Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu5: Cho cân tại A.Gọi M là trung điểm của BC.Trên cạnh AB lấy điểm D,trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME =góc B Chứng minh rằng : a)BD.CE=1/4BC2
 b)DM là phân giác của góc BDE.
 c)Chu vi tam giác ADE không đổi khi D,E chuyển động trên cạnh AB và AC



Phòng đào tạo Đề chọn học sinh giỏi toán 8 (2004-2005)
Trực ninh Thời gian làm bài :120 phút 
Bài1:(4điểm) Cho phân thức 
 A= 
 a)Tìm điều kiện cũa để A có nghĩa b) Rút gọn A
 c)Tìm x để A có giá trị bằng 4
Bài2: (3điểm)
Xác định đa thức f(x) bậc 3 sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhi thức (x-1) ;(x-2) ;(x-3) đều được dư là 6 và tại x=-1 thì đa thức nhận giá trị bằng –18.
Bài3:(4 điểm)
 a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=
 b)Chứng minh rằng a4+b4a3b+ab3
Bài4:(7 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a,điểm M thuộc BC ,điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM=AN.Các đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự ở E,F.
 a)Chứng minhCE.CF=a2
 b)Gọi I là giao điểm của FA và EB . Chứng minh tam giác CEB đồng dạng với tam giác DAF và góc EIF =90o
 c)Cho CM=.Tính diện tích đa giác ABCD theo a
 d)Các điểm M và N có vị trí như thế nào thì EF có độ dài nhỏ nhất.
Bài5:(2 điểm) Giải phương trình