Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Cần Thơ năm học 2013 – 2014

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Cần Thơ năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1: Giải hệ phương trình sau:
Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, , AH là đường cao và AD là đường phân giác trong. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trêm các cạnh AC và AB, M là giao điểm của BE và CF.
1. Chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng.
2. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh .
3. Gọi N là giao điểm của BC với đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh : 
Câu 3: Cho a, b, c ;à ba số nguyên khác không và thỏa mãn (1)
1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên a, b, c đôi một khác nhau thỏa (1)
2. Chứng minh abc là lập phương của một số nguyên.
Câu 4: Cho các đa thức P(x), Q(x) với hệ số thức thỏa mãn điều kiệm . Biết P(0)=0 và các hệ số của P(x) đều không âm. Tính P(P(2013)).
Câu 5: Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện :
Câu 6: Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số 1 và 3 vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên a và b thì được phép viết thêm số c=a+b+ab vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số 2509 và 20132014 hay không? Giải thích tại sao?