Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Hải Phòng năm 2013

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 thành phố Hải Phòng năm 2013
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1. Giải hệ phương trình
Bài 2. Cho tam giác có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc các cạnh lần lượt tại . Đường tròn bàng tiếp góc của tam giác tiếp xúc tại và các phần kéo dài của đoạn thẳng lần lượt tại . Chứng minh rằng và đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy.
Bài 3. Tồn tại hay không đa thức bậc 2014 với các hệ số thực thỏa mãn chia hết cho f(x)?
Bài 4. Cho dãy số thỏa mãn
Đặt
.
Chứng minh rằng hội tụ và tính .
Bài 5. Có n bạn nam và n bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.