Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013 – 2014

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình 
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số được xác định như sau:
 (tử số có n dấu căn); 
Tính giới hạn của dãy số .
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số thỏa mãn:
.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác và là hai điểm di động trên đường thẳng sao cho . Đường thẳng đi qua và vuông góc với , đường thẳng đi qua và vuông góc với . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình:
Câu 7 (5,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và sao cho . Đường thẳng cắt hai đường tròn tại sao cho các điểm nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. cắt đường tròn tại điểm thứ hai và cắt tại . cắt đường tròn tại điểm thứ hai và tại .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương với và . Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).