Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 - Trường THPT Nam Tiền Hải

Sở GD - ĐT Thái Bình
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12
Trường THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
	1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm y = 4x3 - 3x
	2. Chứng minh phương trình có 3 nghiệm.
Bài 2: (4 điểm)
	1. Cho x>y>0. Chứng minh 
	2. Giải bất phương trình: 
Bài 3: (4 điểm)
	1. Giải phương trình: 
	2. Chứng minh: 
Bài 4: (6 điểm)
	Cho tứ diện ABCD có BC=a, AB=AC=b, BD = DC = c
	Gọi a là góc AID (với I là trung điểm BC, 0<a< )
	1. Với điểu kiện nào của b,c thì đường nối I với trung điểm J của AD là đường vuông góc chung của BC và AD.
	Chứng minh khi đó hình cầu đường kính CD đi qua I và J
	2. Với b = c. Tính VABCD theo a,b,a.
Với b = c = xác định a để hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD.
Người ra đề
Người thẩm định
BGH duyệt
Sở GD - ĐT Thái Bình
đáp án sơ lược đề học sinh giỏi Toán lớp 12
Trường THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
	1. (3 điểm): y = 4x3 - 3x
	BBT 
x
-Ơ
Ơ
y'
0
0
y
1
	+Ơ
-Ơ
-1
	2. (3 điểm) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm.
	- Có đồ thị y = 4x3 - 3x đã vẽ ở trên
	- Hàm y= 	y > 0
	x2+y2 = 1
	Có đồ thị là nửa đường tròn tâm o, bán kính bằng 1.
	- Vẽ chúng trên cùng hệ trục => đ.p.c.m
Bài 2: (4 điểm)
	1. Cho x>y>0. Chứng minh 
	Do x > y> 0 => lnx - lny > 
	BĐT lnx - lny >
	Xét f(t) = ln t - 2 với t > 1
	f'(t) = "t >1
	=> f(t) đồng biến khi t > 1
	Vì => (1) được c.m
	2. Giải bpt: 
	 Đk: x > 0
	=> 
	Bpt (1)
	(1) tương đương với 2 hệ sau:
	a. 	x > 0
	b. 	x> 0	
	x > 8
	4t2-28t +48 8< x< 16
	Vậy tập nghiệm là S = 
Bài 3 (4 điểm)
	1. Giải phương trình: 
	pt: 
	 > 0	(1)
	= 	(2)
	(2) tan2x = 1 x =
	Thử điều kiện (1) ta được x=
	Kết luận
	2. Chứng minh: 
	xét 	f(x) = 
	f'(x) = 	(1)
	f(x) = 
	 = 
	f'(x) = 	(2)
	Từ (1) và (2) cho (3)
	Trong (3) thay x=n-1 thì VT = 0 và cho kết quả
Bài 4 (6 điểm).	
A
J
D
B
I
C
Qx
a
	- Dễ thấy điều kiện là b = c
	- Hình cầu đường kính CD có tâm là trung 
	 điểm Q của CD
	- DDIC: QI = QD = QC = DC/2
	B= c => AD ^ JC
	- Tam giác vuông DJC: QJ = QD = QC
	=> QD = QC = QI = QJ
	=> Hình cầu đường kính CD đi qua I và J 
	có a = AID
	BC = (AID) => VABCD = VBADC = 2VBADI
	= 2/3 BI .SADI = 
	Vì b = c => AI = DI = AI.DI = AI2 = b2-a2/4
	=> VABCD = 
	2.
	0 là trung điểm của I và J
B
J
A
D
I
C
F
 0
	Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc CD 
	 d(0,DC) = 1/2IJ
	Khi b = c = 
	Có FC = CI = a/2 
	(hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C)	
	(Hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm)
	Có 
	Vậy a = arccos
Người ra đề
Người thẩm định
BGH duyệt
Sở GD - ĐT Thái Bình
Đề thi học kỳ 1 - môn toán lớp 12
Trường THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: (3 điểm)
	Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C)
	1. Khảo sát vẽ đồ thị (C)
	2. Viết phương trình tiếp tuyến tại A = (C) ầ OX
Bài 2: (2 điểm)
	1. Cho 0 < a < . Chứng minh:
	a.sina + cos	a > 1
	2. Giải phương trình: Log2(4x + 4) = x - log1/2 (2x+1-3)
Bài 3: (2 điểm) Tính:
	a. A=
	b. B = 
Bài 4 (2,5 điểm)
	Cho hình chóp tam giác đều S ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b.
	1. Tính thể tích hình chóp.
	2. Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 5 (0,5 điểm)
	Tính I=
Người ra đề
Người thẩm định
BGH duyệt
Sở GD - ĐT Thái Bình
đáp án đề thi Toán lớp 12- học kỳ I
Trường THPT Nam Tiền hải
năm học 2008 - 2009
--------o0o-------
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: 
	1. BBT 
	X -Ơ	 1	 +Ơ	TCĐ: x = 1
	y'	 -	 -	TCN: y=2
	y 2	 +Ơ	
	 -Ơ	 2	
	2. 	A = (C) ầ OX => A (-1/2;0)
	f'(A) = -4/3
	=> pttt tại A là: y- 0 = 
Bài 2:
	1. Xét f(x) = xsinx + cosx/ 
	f'(x) = xcosx > 0 "x thuộc I
	Vậy f(x) đồng biến trên I
	Do a > 0 => f(a) > f(0) => asina + cosa > 1
	2. Điều kiện	 2x+1-3 > 0 x > 
	Phương trình 
`	Kết luận x = 2
Bài 3:
	a. Vì (sin2x + 2 cos2x + 5)' = -2sinxcosx => sinxcosxdx = -1/2.d(sin2x + 2cos2x + 5)
	Có A= 	 	
	b. Đặt 	u = x
	dv = 
S
B
I
A
C
 M
H
 0
Bài 4: 
	1. Có 
	Có 
2. 	I là trung điểm của SA
	Trong (SAM) trung trực SA cắt SH tại 0
	Lập luận cho 0 là tâm cầu, bán kính cầu là R = OS = OA
	Đặt AS0 = a 
	Vậy bán kính 
Bài 5:
	 I= 	(1)
	Với I1 sử dụng phép đổi biến t = tanx => 
	Với I2 sử dụng phép đối biến t = cotx => 
	Vậy 
Người ra đề
Người thẩm định
BGH duyệt