Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6,7,8 - Năm học 2009-2010 - Phòng GD&ĐT Tam Kỳ

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 6 
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 ==================
Bài 1: ( 2,25 điểm) 
Tính hợp lý: (Không dùng máy tính)
Bài 2: ( 2,0 điểm) 
	Cho 
Chứng minh D chia hết cho 5.
Tìm chữ số tận cùng của D.
Bài 3: ( 1,75 điểm) 
	Tìm các số tự nhiên k để 3k + 4 chia hết cho k - 1.
Bài 4: ( 2,0 điểm) 
	Có hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước, nếu cả 2 vòi cùng chảy thì sau 48 phút sẽ đầy bể, nếu chỉ mở một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy ít hơn vòi thứ hai 50 lít nước. Tính thể tích khi bể chứa đầy nước?
Bài 5: ( 2,0 điểm) 
	Cho 3 tia chung gốc O: Oa, Ob, Oc sao cho góc aOb bằng 1400; và tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob. Vẽ Ox là tia phân giác của góc aOc; Oy là phân giác của góc cOb; Om là phân giác của góc aOb.
Tính số đo góc xOy.
Chứng minh: Góc aOx = góc mOy.
 ( Chú ý: HS phải vẽ hình chính xác để làm bài. Hình vẽ 0,25 điểm)
 ---------------------
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 7 
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 ==================
Bài 1: ( 2,0 điểm) 
	Thực hiện tính:
(-1).(-1)2.(-1)3...(-1)2010
(1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)
Bài 2: ( 2,0 điểm) 
	Tính giá trị của biểu thức:
	a.	
	b. với 
Bài 3: ( 2,0 điểm) 
	a. Cho ( x y và xz). Chứng minh rằng: 
	b. Cho và . Tính x, y, z
Bài 4: ( 2,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm. Trên tia AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE. Chứng minh:
BE= 2QG
Bài 5: ( 2,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng 2, đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt AC tại D.
Chứng minh: DH=DC=DA
Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB. Chứng minh: B’C=B’A.
Chứng minh: CH=AE.
 ------------------------
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 ==================
Bài 1: ( 2,0 điểm) 
	a. Chứng minh: (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (bc + ad)2
	b. Cho: và x + y + z = xyz (x, y, z là các số khác o)
 Chứng minh rằng: 
Bài 2: ( 2,5 điểm) 
	Giải các phương trình:
	 a. 
 b. x4 - 2x2 = 400x + 9999
Bài 3: ( 2,0 điểm) 
	a. Chứng minh: x2 - x + 1 > 0 (với mọi x)
	b. Chứng minh: 
	c. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: 
Bài 4: ( 3,5 điểm) 
	Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD); Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B’. Gọi diện tích các tam giác OAB; OCD; ACD; ABC lần lượt là S1; S2; S3; S4. Chứng minh:
EF//AB
 và 
 --------------------------------
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 8
 HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: ( 2,0 điểm) 
(0,75 điểm) 
 VT = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
= a2c2 + b2d2 - 2abcd + a2d2 + b2c2 + 2abcd
= (ac - bd)2 + ( bc + ad)2=VP
	 ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm)
(1,25 điểm) Với x, y, z khác 0:
Bình phương 2 vế: ta có: 
 (Vì x+y+z=xyz) 
 ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) Bài 2: ( 2,5 điểm) 
	a.(1,25 điểm)	 
	 ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) 
 	b.(1,25 điểm)
 x4 - 2x2 = 400x + 9999
 Û (thêm 4x2+1 vào 2 vế )
	Û
	ÛÛ
(1)Û ta được ; PT(2) vô nghiệm
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x=11; x=-9
 ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) 
Bài 3: ( 2,0 điểm) 
a.+	 x2 – x + 1 = x2 –x + 1/4 + 3/4 = (x-1/2)2 + 3/4 > 0
 +	(x-1/2)2 ³0; 3/4 > 0 nên (x-1/2)2 + 3/4 > 0
b.
 +	 Từ kết quả (a) nhân 2 vế của BĐT với số dương 3( x2 – x + 1) được :
 3x2 + 3x + 3 > x2 –x + 1
 +	 Biến đổi :	Û 2x2 + 4x + 2 > 0
	Û 2(x+1)2 > 0
 +	 2(x+1)2 > 0 luôn đúng. Suy ra: .
c. 
 +	
 +	 
 + A= đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 1.
	( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) 
A
B
Bài 4: ( 3,5 điểm) 
O
a.(1,0 điểm)
F
E
B’
C
D
A’
(Ta-let đảo)
b.(1,75 điểm)
 được 
	( Do )
c.(0,75 điểm)
 (Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỷ số hai đường cao )
 Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh
 ( Mỗi bước cho 0,25 điểm)
 =========================
Ghi chú: 
 HS giải bằng cách khác nhưng hợp lý giám khảo vẫn ghi điểm tối đa cho từng câu.
 *********
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 6
 HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: ( 2,25 điểm) 
a. A= (0,75 điểm)
b. B
 ( 0,75 điểm)
c. 
	 ( 0,75 điểm)
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho D = 2 + 22 + 23 + 24 + ...+220
Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: (1 điểm)
 D = 2(1 + 2+ 22 + 23 )+ 25(1 + 2+ 22 + 23 )+29(1 + 2+ 22 + 23 )+
 +213(1 + 2+ 22 + 23 ) +217(1 + 2+ 22 + 23 )
	 =(1 + 2+ 22 + 23 )(2 + 25+29 +213 +217) 
	 = 15(2 + 25+29 +213 +217)
	 = 5.3. (2 + 25+29 +213 +217)
 Kết luận D chia hết cho 5.
 (Mỗi bước ghi 0,25 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của D: (1 điểm)
D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2.
D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
D chia hết cho 2 nên D có chữ số tận cùng là chữ số chẵn.
D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0.
 (Mỗi bước ghi 0,25 điểm)
Bài 3: (1,75 điểm)
-	3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
-	Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nên 7 chia hết cho k -1 0,5 đ
-	k-1 là ước của 7 nên k-1 = 7 hoặc k -1 = 1 0,5 đ
- 	Suy ra được k = 8 hoặc k = 2. 0,25 đ
Bài 4 (2,0 điểm)
	Trong 1 phút:
Hai vòi chảy được: bể 0,25 đ
Vòi thứ nhất chảy được: bể 0,25 đ
Vòi thứ hai chảy được: bể 0,5 đ
Vòi thứ hai chảy hơn vòi thứ nhất: bể 0,5 đ
Thể tích bể: 50:= 12000 lít 0,5 đ
Bài 5:(2,0 điểm)
a.Tính sđ góc xOy: (0,5 điểm)
- xOy =xOc +cOy=(aOc +cOb) =aOb=.1400 =700
b.Chứng minh aOx =mOy: (1,0 điểm)
- Om là phân giácaOb: aOm =aOb (1)
-	Ox là phân giácaOc: xOc =aOc
-	Oy là phân giáccOb: 	cOy =cOb
-	Do:xOy =xOc+cOy =(aOc + cOb) =aOb (2)
	Từ (1) & (2) suy ra: 
	-	 aOm =xOy
-	aOx+xOm =aOm
-	mOy+xOm =xOy
Cho ta: aOx =mOy
 a x
 c
 m
 O
 y	
 b
UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 	 KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 PHÒNG GD & ĐT 	 NĂM HỌC: 2009 - 2010
 Môn: Toán - Lớp 7
 HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: ( 2,0 điểm) 
 a. (-1).(-1)2.(-1)3...(-1)2010
 = (-1)1+2+...+2010
= (-1)2010(2010+1):2
Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ
 Nên: (-1)2010(2010+1):2 = -1 ( 1,0 điểm)
 b. Trong tích: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)
 có thừa số: 1000 - 103= 0
 Nên: (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33)...(1000 - 20103)=0 ( 1,0 điểm)
Bài 2: ( 2,0 điểm) 
	Tính giá trị của biểu thức:
a.	
 =
 = (1,0 điểm)
b. với 
	 =
	 =
	 = = (1,0 điểm)
Bài 3: ( 2,0 điểm) 
a. - Từ được : 
- Từ được và 
- Suy ra 
 (1,0 điểm)
b. - Từ được 
 - Từ được 
- Kết hợp được : 
- x2 = 4.9=36 được x = 6 và x = -6
* x = 6 được y = 9 và z= 12
* x = - 6 được y = -9 và z= -12 (1,0 điểm)
Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ)
Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ)
Chứng minh: tg BNE= tgCNG
Suy ra: BE=GC
Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG (Mỗi ý 0,25đ)
b. ( 0,75đ)
- 	Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg)
- 	Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC
- Hay: 2.(AN+BP+CQ)>AB+BC+AC
 Vậy: (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC (Mỗi ý 0,25đ)
 A
	 Q P
 G
	B N C
E
Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ)
A
B
C
H
E
D
B’
a.
- Tam giác BEH cân nên E = H 
- ABH là góc ngoài nên E=H= 
- BHE = DHC (Đối đỉnh) nên DHC =a
- Suy ra DDHC cân tại D nên DH=DC
- DHAD có : AHD = 900 -a
-	 HAD = 900 - a (DAHC vuông tại H)
- Suy ra DHAD cân tại D nên DH = DA. 
- Suy ra DH = DC = DA. (0,75 đ)
b.
- D ABB’ cân tại A do có trung tuyến là đường cao
- Suy ra AB’B = 2a
- Suy ra B’AC = BB’A - B’CA = a
- D AB’C cân tại B’ nên B’C = B’A (0,5 đ)
c. 
- Do AB’ = AB nên B’C = AB
- HB’= HB = BE nên AB + BE = B’C + B’H hay CH = AE (0,5 đ)