Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 Năm học 2003 – 2004

Quận tân phú - tphcm
Năm học 2003 – 2004
(90 phỳt)
Bài 1 (3đ):
1, Tớnh: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tớnh giỏ trị của A biết là số nguyờn õm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tỡm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trờn một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trờn đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trờn đoạn đường nào lớn hơn ? Tớnh tỉ số vận tốc của con thỏ trờn hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuụng gúc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đú.
2, Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
thị xã hà đông – hà tây
Năm học 2003 – 2004
(120 phỳt)
Bài 1 (4đ):
Cho cỏc đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tớnh M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tớnh giỏ trị của M(x) khi x = 
3, Cú giỏ trị nào của x để M(x) = 0 khụng ?
Bài 2 (4đ):
1, Tỡm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tỡm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tỡm giỏ trị nguyờn của m và n để biểu thức
1, P = cú giỏ trị lớn nhất
2, Q = cú giỏ trị nguyờn nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giỏc ABC cú AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuụng gúc với đường phõn giỏc trong của gúc A, cắt cỏc đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tớnh AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cõn tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tớnh gúc ADB ?
Tp hcm
Năm học 2004 – 2005
(90 phỳt)
Bài 1 (3đ): Tớnh:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tớnh b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta cú hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đú tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 600. Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC tại D, tia phõn giỏc của gúc C cắt AB tại E. Cỏc tia phõn giỏc đú cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
 quế võ – bn
Năm 2007 – 2008:
(120 phỳt)
Bài 1 (5đ): 
1, Tỡm n N biết (33 : 9)3n = 729
 2, Tớnh :
 A = + 
Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 3 (4đ):
 Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau. Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu cụng nhõn ?
Cõu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tớnh số đo gúc BHC.
Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyờn tố thoả món: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
Đề số 5
Bài 1: (2 điểm)
a, Cho 
Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
 Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. 
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3: 
a) Cho với a, b, c là các số hữu tỉ.
 	Chứng tỏ rằng: . Biết rằng 
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của 
Đề số 6
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Cho 
Chứng minh rằng .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu thì 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết: 
Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) 
Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất.
Đề số 7
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A = 
B = 
b) Tìm các giá trị của x để: 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: .
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. 
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: 
Đề số 8
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:
A= 
b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho 
b) Biết 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách. 
+ Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi.
+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn. 
Tính số bưu ảnh của mỗi người.
Bài 4: (3 điểm)
Cho DABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của DADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
Đề số 8
Bài 1: (2 điểm)
Tính: 
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 77.
b) Tìm các số nguyên x để đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng: P(x) có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 và 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia hết cho 7.
Bài 4: (2 điểm)
 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng: (a, b ẻ Z )
Đề số 10
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a.
b) Tính 
Bài 2: (2 điểm)
Cho 
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
Bài 3: (2 điểm) 
 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 
Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH ^ BC (H ẻ BC). Vẽ AE ^ AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N ẻ AH). EF cắt AH ở O. 
Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: và 
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
Tính : ; 	
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
b) Tìm x, y, z biết: (x, y, z )
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có:
 	 chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng:
 ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm) 
Tính:
Câu 2: ( 2, 5 điểm) 
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 
2) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
 	; và 
b) Cho . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. 
Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh là hợp số.
Đề số 13
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức với 
b) Tìm x nguyên để chia hết cho 
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết và 
b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm) 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ^ EF.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng tỏ rằng: 
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm) 
a) Thực hiện phép tính: 
b) Tính tổng: 
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm x biết: 
2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc người thứ nhất so với người thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người thứ hai đi là 2: 5. 
Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thức (a, b, c nguyên). 
 	 CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.
b) CMR: nếu thì (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
Câu 5: (1 điểm) 
Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. 
Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn như trên tham gia.
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức: 
b) Chứng tỏ rằng:
Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số: (x ẻ Z)
a) Tìm x ẻ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x ẻ Z để C là số tự nhiên.
Câu 3: (2 điểm)
Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p sao cho:
 ; là các số nguyên tố.
Đề số 16
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
; 
b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c ẻ Z).
b) Biết 
 Chứng minh rằng: 
Câu 3: ( 2 điểm)
 Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Câu 4: (2 điểm)
 Cho DABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của DABD, đường cao IM của DBID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N. 
Tính góc IBN ? 
Câu 5: (2 điểm) 
 Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức 
b) Chứng minh rằng:
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:
 chia hết cho 6.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: (2 điểm)
 Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. 
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.
Câu 5: (1 điểm)
 Cho n số x1, x2, …, xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + …+ xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Đề số 18
Bài 1: (2 điểm) 
a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Chứng minh rằng tổng:
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mãn.
b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6.
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?
b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) Tính các góc của DDIE nếu góc A = 600.
b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của DABC lần lượt là M và N. Chứng minh BM > MN + NC.
Bài 5: (1 điểm) 
Cho z, y, z là các số dương.
Chứng minh rằng: 
Đề số 19
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x biết: 
b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = 
Bài 2: (2 điểm)
 Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
 Cho . 
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B =. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc EBA= . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. 
Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
Bài 5: (1 điểm) 
 Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 và 
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính 
b) Tìm x biết 
Bài 2: (2 điểm) 
Chứng minh rằng: 
Nếu 
Thì 
Bài 3: (2 điểm)
 Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 
Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
 Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
Đề số 21
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên biết: 
b) Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b2 = ac ; c2 = bd.
Chứng minh rằng: 
b) Cho a, b, c khác 0 thoả mãn: 
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3: (2 điểm)
 Cho a là số nguyên dương, biết chia cho 73 dư 2 và chia cho 73 dư 69. Hỏi a chia 73 dư bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE và MA. Chứng minh:
a) 
b) AMN = ABN
c) BH = AC
Bài 5: (1 điểm) 
Cho a, b, c, x, y, z nguyên dương và a, b, c khác 1. Thoả mãn: 
; ; .
Chứng minh rằng: x + y + z + 2 = xyz
Đề số 22
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:
b) Tìm a1, a2 ,…,a9 . Biết:
Bài 2: (2 điểm)
Tính : 
Bài 3: (2 điểm)
Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số người đội I, và 1/4 số người đội II, và chuyển 1/5 số người đội III đi làm việc khác thì số người mỗi đội còn lại bằng nhau. 
Tính số người mỗi đội ban đầu biết tổng số người ban đầu là 196 người.
Bài 4: (3 điểm)
 Cho hai góc xOy và x’O’y’ có Ox // O’x’, Oy // O’y’. Gọi Om là tia phân giác của góc xOy, On là tia phân giác của góc x’O’y’. Chứng minh:
a) Nếu góc xOy và x’O’y’ cùng nhọn hoặc tù thì Om // O’n.
b) Nếu góc xOy và x’O’y’ có một góc nhọn, một góc tù thì Om ^ O’n.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố P sao cho:
P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tố. 
Đề số 23
Câu 1: (2 điểm)
a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
b) Tìm x, y thoả mãn: 
Câu 2: (2 điểm)
Tính:
a) 
b) 
Câu 3: (2 điểm)
 Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị thứ nhất có 15 xe trọng tải mỗi xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ ba có 25 xe trọng tải mỗi xe 3,5 tấn. 
Hỏi mỗi đơn vị đã vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết rằng mỗi xe huy động một số chuyến như nhau.
Câu 4: (3 điểm) 
 Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A bằng 800. Trong tam giác ABC lấy điểm I sao cho góc BIC bằng 100 và góc ICB bằng 200. Tính góc AIB.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dương biết rằng trong 4 mệnh đề sau:
A. a + 1 chia hết cho b.
B. a = 2b + 5
C. a + b chia hết cho 3.
D. a + 7b là số nguyên tố.
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?
Đề số 24
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính 
A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phương không ?
b) Tính tổng: 
c) Chứng minh rằng: 
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm n ẻ N để phân số là tối giản ?
b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng là 19.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n +13 ; n + 15 đều là các số nguyên tố.
b) Hai người cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Người thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại ngay, người thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai người gặp nhau lần thứ hai tại điểm C cách A 6 km. 
Tính quãng đường AB. Biết rằng vận tốc người thứ hai bằng 2/3 vận tốc người thứ nhất.
Câu 4: (3 điểm) 
 Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm và BC = 2cm.
a) Tính AC ?
b) Điểm O nằm ngoài đường thẳng AB biết góc AOB = 550 và góc BOC = 250. Tính góc AOC ?
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ?
Câu 5: (1 điểm)
 Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu ?
Đề số 25
Câu 1: (2 điểm)
 Thực hiện phép tính.
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên m thoả mãn: 
b) Cho x, a, b ẻ Z+ thoả mãn: 
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: (100x + 10y + z) 21.
Chứng minh rằng: (x - 2y + 4z) 21.
b) Cho 
Tìm giá trị của biểu thức: 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu 4: (2 điểm)
 Trong một xưởng cơ khí người thợ chính làm một chi tiết hết 5 phút, người thợ phụ làm xong hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian cả hai người cùng làm việc thì số chi tiết làm được là 84 chiếc.
Tính số chi tiết mà mỗi người đã làm được ?
Câu 5: (2 điểm)
 Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB cắt BC tại N. Phân giác góc MNC cắt MC tại P.
a) Chứng minh rằng: MBC = BMN ; BM // NP.
b) Gọi NQ là phân giác của góc BNM. CMR: NQ ^ BM.
Đề số 26
Bài 1: (2 điểm)
Tìm x, y, z biết rằng:
1) ; và x + 2y + 3z =164
2) (x, y, z )
Bài 2: (2 điểm)
 Tìm tỉ lệ ba đường cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.
Bài 3: (2 điểm)
Lúc rời nhà đi bạn An xem thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi đến trường thì hai kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau (trong thời gian này hai kim đồng hồ không chập với nhau lần nào). 
Tính thời gian An đi từ nhà đến trường; lúc An rời nhà, An đến trường là mấy giờ. (Hai kim đồng hồ được nói tới ở đây là kim phút và kim giờ).
Bài 4: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là BAE và CAF.
1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngược lại nếu I thuộc BC và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC.
2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC).
3) Giả sử H là trung điểm của EF, hãy xét quan hệ của AH và BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên dương để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị ấy.
Đề số 27
Bài 1: (4 điểm)
Tìm phân số biết: 
a) a = ƯCLN (12, 18) và b = BCNN (5, 9)
b) a = ƯCLN (12, 20) và 
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: chia hết cho 11.
Câu 3: (4 điểm)
 Số học sinh khối 7 của một trường khi xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học đó chưa đến 300. 
Tính số học sinh khối 7 của trường đó.
Câu 4: (6 điểm)
 Cho góc aOb. Vẽ tia Oc nằm trong góc aOb. Gọi Ox, Oy lần lượt là các tia phân giác của các góc aOc, bOc. Vẽ tia Oz là tia bất kì nằm trong góc xOy. Gọi Ot, Oh lần lượt là các tia phân giác của các góc xOz, yOz.
a) Cho biết góc aOb = 1020. Tính góc tOh ?
b) Cho biết góc tOh = 200. Tính góc aOb ?
c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ?
Câu 5: (2 điểm)
Tìm số có bốn chữ số thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
a) là hai số nguyên tố.
b) 
Đề số 28
Bài 1: (1 điểm)
Tìm x, y là số nguyên biết 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: 
Bài 3: (2 điểm)
a) Có một số gạch cần chuyển. Nếu lớp 8A chuyển thì cần 4 ngày; 7A chuyển cần 7 ngày, nếu lớp 6A chuyển cần 12 ngày. Hỏi cả ba lớp cùng chuyển số gạch đó thì mất bao lâu ?
 b) Kim giờ và kim phút của đồng hồ gặp nhau trước và sau mất thời gian bao lâu ?
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x biết:
) 
b) 
c) 
Bài 5: (2 điểm)
 Cho tam giác ABC. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng: MN song song và có độ dài bằng nửa của BC. Người ta gọi MN là một đường trung bình của tam giác. 
Hãy phát biểu điều vừa chứng minh dưới dạng định lí.
Đề số 29
Bài 1: (2 điểm) 
Thực hiện phép tính:
a) 
b) 
Bài 2: (3 điểm)
a) Tìm số nguyên m thoả mãn m - 5 chia hết cho 2m + 1.
b) Tìm x biết rằng: (xẻ N)
c) Tìm x, y, z biết rằng: 4x = 3y ; 5y = 3z và 2x - 3y + z =6
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 44.
b) Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có:
Bài 4: (1 điểm)
 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A và B cách nhau 544 km. Tính xem 2 xe gặp nhau ở chỗ cách A bao nhiêu km. Biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phút.
A
B
C
xx
y
Bài 5: (2 điểm)
Cho biết A + B + C = 3600
Chứng tỏ rằng Ax song song với By.
Đề số 30
Câu 1: (2 điểm)
1) Tính nhanh:
a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004.
b) 
2) Thực hiện phép tính:
Câu 2: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng: 
a) chia hết cho 9.
b) chia hết cho 14.
2) Tìm chữ số tận cùng của số (với n ẻ N)
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y và 
A
B
C
xx
y
b) Cho biết . Chứng minh: 
Câu 4: (2 điểm) 
Cho hình vẽ. Cho biết Ax / / By. 
Hãy tính tổng các góc: 
A + B + C = ? 
Câu 5: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết: 
 	 (x, y, z )
b) Tìm số hữu tỉ x biết rằng tổng của số đó với số nghịch đảo của nó là một số nguyên.
Đề số 31
Câu 1: (2 điểm)
Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lí:
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm). 
Tìm x, y ẻ Z thoả mãn:
a) 
b) 
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho a, b, c là ba số khác 0 và a2 = bc. Chứng minh rằng:
Câu 4: (1,5 điểm) 
Cho x, y ẻ Z. Chứng minh:
Nếu 3x + 2y 17 thì 10x + y 17 và ngược lại.
Câu 5: (3 điểm)
 Cho tam giác ABC (góc A = 900, AB = AC. Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MB = MD. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng BC kẻ tia Cx ^ CB. Trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CB. Chứng minh:
a) CD = AB và CD // AB.
b) BD = AE.
Đề số 32
Câu 1: (4 điểm) 
Thực hiện phép tính:
a) 
b) 
Câu 2: (4 điểm) 
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 
2) Chứng minh rằng: chia hết cho 10 với n nguyên dương.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x, y biết: và 
b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lần trước đến lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo. Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặp nhau bao nhiêu lần ? Tạo với nhau góc vuông bao nhiêu lần?
Câu 4: (6 điểm) 
Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh AB. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy D sao cho ND = NA. Chứng minh:
a) Tam giác BCD vuông.
b) Tam giác ACD cân.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 
a) Chứng minh rằng C chia hết cho 42002.
b) Hỏi C chia cho 42003 dư bao nhiêu ?
Đề số