Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 Đề số 20

Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
Tìm số d trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 1
Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
2.2
 (2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 
 (2)
 và .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Ta có:
A=
 =
Mà: (BĐT Cô-Si)
Do đó A Vậy A
0,5
0,5
3.2
Ta có: 
Đặt , biểu thức P(x) đợc viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số d là 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1,0
0,5
4.2
Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
0,5
0,5
0,5
4.3
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
0,5
Do đó: 
0,5