Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 16

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
môn: toán chung . thời gian: 150'
 ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )
Bài I: (2 điểm )
Cho là ba số khác nhau từng đôi một, . 
Chứng minh rằng nếu các phương trình: và có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phương trình đó thỏa mãn phương trình 
Bài II: (2 điểm )
Gọi = , .
Tìm tất cả các giá trị của sao cho và có giá trị nguyên 
Bài III: (2 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Bài IV: ( 1 điểm )
Cho a > 0 , chứng minh 
Bài V: ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF
đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn
môn toán chung ( Gồm 2 tờ )
Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm )
 Ta gọi là nghiệm chung của hai phương trình: , và ,. Và , lần lượt là các nghiệm thứ hai của và , với . Khi đó ta có: 
 , . 
 Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho và ta có: 
, , . 
 Ngoài ra: , , 
 Kết hợp với ta đợc . Nh vậy ta có: và và là nghiệm của phương trình .đpcm
Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần tương ứng cho 0,5 điểm )
 Chú ý rằng: ,
 Suy ra = = 
 nhận giá trị nguyên , khi là một số chính phương . Dạng 
 Kết hợp với điều kiện , suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là: 
Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) 
 Với điều kiện: 
Ta có:,
 Nhận xét: Từ , vì vậy .Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do suy ra các nghiệm nguyên của phương trình là:, , , 
Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm )
 Ký hiệu: xn = , ta có xn > 0 với n 1
Ta chứng minh xn-1 1
+ Ta có: < x1< x2
+ Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có xk-1< xk . Khi đó : 
 xk+1> xk. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn
 . Vậy . đpcm
Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm )
 Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến .
 Xét hai tiếp tuyến AB và AC , M(O)
Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF
( chắn cung ). 
 (------------ )
Suy ra các tam giác MEN và MFH , MFN và MEK đồng dạng. Từ đó 
 (1). Bổ đề đợc chứng minh 
 áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f lần lượt là khoảng cách từ M đến các đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE của các tam giác ABC và DEF ta đợc: . Nhân vế với vế của ba đẳng thức, suy ra điều phải chứng minh.