Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 17

đề thi vào lớp 10 thpt lam sơn(2)
môn thi : toán
 ( Chung cho tất cả các lớp chuyên )
(Thời gian 150 phút )
Bài 1 ( 2 điểm ) 
Cho biểu thức 
 a) Rút gọn P 
 b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của P 
Bài 2 ( 2 điểm ) 
Giải các phương trình sau 
 a) 
 b) 
Bài 3 ( 2 điểm ) 
Giải hệ phương trình 
Bài 4 ( 3 điểm ) 
Cho góc xIy . A là điểm lấy trên đường phân giác góc trong của góc đó , Gọi K , M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A đến 2 cạnh Ix , Iy của góc xIy . Trên KM lấy điểm P ( KP < PM ) . Qua P dựng đường thẳng vuông góc với AP cắt KI tại Q , MI tại S 
 a) Chứng minh rằng cácc tứ giác KPAQ và PSMA nội tiếp được trong một đường tròn . 
 b) Chứng minh : P là trung điểm của QS 
 c) Cho é KIM = 2a ; KM = a ; QS = b ( a < b ) . Tính KQ . 
Bài 5 ( 1 điểm ) 
Cho tam giác ABC có 3 cạnh a , b , c thỏa mãn a + b + c = 6 .
Chứng minh : 54 > 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc ³ 52 . 
Đáp án và thang điểm
Bài
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
 1
a)
ã Điều kiện x ³ 0 
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
 ã Ta có 
 nên 
P = 0 Û x = 0 . Vậy min P = 0 
ã Ta có 
Û x - 2 + 1 ³ 0 
Û x - + 1 ³ , " x ³ 0 
Û 
Û P Ê 1 " x ³ 0 ; P = 1 Û x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1 
Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
 2
 a)
ã Điều kiện x ạ 0 
Phương trình đã cho tương đương với 
Đặt t = ị t2 = 
PT trở thành : 
 Û 3t2 - 10t + 8 = 0 
 Û t = 2 hoặc t = 4/3 
0,25
0,25
Bài
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
2
a)
 * với t = 2 thì = 2 Û x2 - 6x - 12 = 0 
 Û x = 
* Với t = 4/3 thì = Û x2 - 4x - 12 = 0 
 Û x = 6 ; x = - 2 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là : 
 x = 6 ; x = - 2 ; x = 
0,25
0,25
b)
 PT : 
Û 
Û 
ã Nếu ³ 0 Û x ³ - 2 , PT trên trở thành 
 x + 2 - 2x = 4 - 2 
Û x = 4 - 4 thỏa mãn x ³ - 2 nên x = 4 - 4 là nghiệm của phương trình đã cho . 
ã Nếu < 0 Û x < - 2 , PT trên trở thành 
 -( x + 2) - 2x = 4 - 2 
 Û - 3x = 4 
 Û x = - 4/3 , không thỏa mãn x < -2 nên loại 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = 4 - 4 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
3
 Ta có hệ 
 Û 
 Û 
Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành : 
0,25
Bài
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
3
 Û Û 
ã Nếu thì ta có hoặc 
* với thì Û 
 Û (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) 
* Với thì Û 
nên x , y là 2 nghiệm của PT : t2 - t + 4 = 0 có D < 0 ị vô nghiệm ị hệ vô nghiệm trong trường hợp này . 
ã Nếu thì ta có hoặc 
* Với ta có Û 
 Û (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) 
* Với ta có Û 
 Û (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) 
Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là 
(x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) . 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
 4
a) 
ã Theo giả thiết é AKQ = é APQ = 900 , nên tứ giác KPAQ nội tiếp trong đường tròn đường kính AQ .
 Cũng theo giả thiết é AMS = é APS = 900 nên tứ giác PSMA nội tiếp đường tròn đường kính AS . (ĐPCM)
0,50
0,50
Bài
ý
Nội dung cơ bản
Điểm
Bài
 4
b) 
 b) Trong tứ giác nội tiếp KPAQ ta có é K1 = é Q1 (cùng chắn cung AP) .
Trong tứ giác nội tiếp PSMA ta có é S1 = é M1 (cùng chắn cung AP) .
 Mà A nằm trên phân giác của é xIy nên AK = AM ị é K1 = é M1 . 
Vậy é Q1 = é S1 hay D AQS cân tại A có AP là đường cao nên AP là trung tuyến ị P là trung điểm của QS .
0,25
0,25
0,25
0,25
c)
c) Do AK ^ Ix ; AM ^ Iy và A nằm trên phân giác của góc xIy nên é I1 = é I2 = a và D AKI = D AMI 
ị IK = IM ; AK = AM ị AI là trung trực của KM .
Gọi H = AI ầ KM ị H là trung điểm của KM và IA ^ KM tại H .
 Trong tam giác vuông AIK ta có é I1 = é K1 (cùng phụ với é IAK) nên é K1 = é Q1 = a . 
 Trong tam giác vuông AHK có : KH = KM/2 = a/2 ; éK1 =a nên .
 Trong tam giác vuông APQ có : QP = QS/2 = b/2 ; é Q1 = a nên . 
 Trong tam giác vuông AKQ có : nên = 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
 Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC ta có :
p -a => 0 ; tương tự p -b > 0 ; p- c > 0 
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số dơng ta có : 
 0 < (p-a)(p-b)(p-c) Ê 
Vì a + b + c = 6 nên bất đẳng thức trên trở thành : 
 0 < 33 - 32.6 + 3(ab + bc + ca) - abc Ê 1 
Û 0 < 27 - 54 + 3 - abc Ê 1 
Û 27 < 3. - abc Ê 28 
Û 54 < 108 - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc Ê 56 
Û 54 > 3(a2 + b2 + c2) + 2abc ³ 52 . ( ĐPCM )
 Dấu " = " xảy ra Û a = b = c = 2 .
0,25
0,25
0,25
0,25