Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 18

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (3)
 	Môn thi : Toán chung 
 Thời gian: 150 phút
 ( Không kể thời gian giao đề )
Bài 1 :( 1 điểm )
 Rút gọn và nêu điều kiện cần có của x 
Bài 2 : ( 1 điểm )
 Phân tích thành nhân tử : 
Bài 3 : ( 1 điểm )
 Cho phương trình : x2- ( 2m+1)x+ m2 + m -6 = 0
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn 
Bài 4 : ( 1 điểm )
 Hai người ở cách nhau 3,6 km , khởi hành cùng một lúc và ngược nhau . Họ
 	gặp nhau ở vị trí cách một trong 2 điểm khởi hành là 2 km . Nếu không thay đổi
 	vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp 
 	nhau ở chính giữa đường , tính vận tốc của từng người .
Bài 5 : ( 1 điểm )
 Giải phương trình : 
Bài 6 :( 1 điểm )
 Cho Pa ra bol (P) : 
	( d ) là đường thẳng qua M ( 1,-2) và có hệ số góc m 
	CMR ( d ) luôn cắt ( P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m
Bài 7 : ( 1 điểm )
 Cho a >1, b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 8 : ( 1 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H , gọi B1,C1 là hai đường tương ứng trên các đoạn HB ,HC sao cho góc AB1C bằng góc AC1B bằng 90 0 . Chứng minh D AB1C1 cân 
Bài 9 : ( 1 điểm )
Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại M gọi N là trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt AC tại K .
Chứng minh : 
Bài 10 :( 1 điểm )
Cho hình lăng trụ đứng ABC .A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với AB=AC=a , . Cạnh bên BB’=a . Gọi I là trung điểm của CC’ Chứng minh : vuông .
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam sơn 
Đáp án : Đề thi môn toán chung
Bài
Đáp án
Điểm
1
(1đ)
Điều kiện : 	= 2x+	
0.25
0.5
0.25
2
(1đ)
0.5
0.5
3
(1đ)
Phương trình (1) có 2 nghiệm số 
 vì 3m2 + 3m +7 =3( m+ )2 + với 
m2 + m -1 =0 
0.5
0.5
4
(1đ)
Gọi 	x ( km/phút ) là vận tốc ngời đi nhanh ( x > 0)
	y ( km/phút ) là vận tốc ngời đi chậm ( y > 0)
Khi gặp nhau ngời đi nhanh đi đợc 2 km , ngời đi chậm đi đợc 
3,6 - 2 =1,6 km .
Thao bài ra ta có phương trình :	
Tương tự ở trường hợp 2 . Ta có phương trình :
Từ đó ta có hệ phương trình :
Giải hệ ta đợc nghiệm thoả mãn bài toán 
Trả lời : Vận tốc ngời đi nhanh : 
Vận tốc ngời đi chậm : 
0.25
0.5
0.25
5
(1đ)
Điều kiện : 
PT (1) 
Đặt 
Phương trình trở thành : t2 + t - 2 = 0 
- Với 	t=1 
	 x-2 = 3+x+2
	 	Phương trình vô nghiệm .
- Với t=-2 
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 .
0.25
0.25
0.25
0.25
6
(1đ)
Phương trình đường thắng d : y+2=m(x-1) y=mx-m-2	
Phương trình hoành độ giao điểm : 
	 x2+ 4mx – 4m -8 =0
Vậy ( d ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m 
0.25
0.25
0.5
7
(1đ)
áp dụng bất đẳng thức cô si :
 a> 1 ta có 
	Tương tự 	
S=8 a=b=2
Vậy minS= 8 khi a=b=2
0.5
0.25
0.25
8
(1đ)
B
A
H
E
D
C1
B1
C
Trong tam giác vuông ABC1 ta có AC12 =AE.AB
Trong tam giác vuông AB1C ta có AB1 2 = AD.AC 
 Mặt khác : DABD ~ DACE ( 2 tam giác vuông chung góc nhọn A ) 
Suy ra 
Từ đó AC1 2 = AB12 AC1=AB1 DAB1C1 cân đỉnh A 
0.5
0.5
9
(1đ)
A
M
C
D
B
N
K
Q
I
P
Qua C kẻ đường thẳng song song với KN cắt AB tại Q 
qua Q kẻ đường thẳng song song với BD cắt KN và CD lần lợt tại I và P 
N là trung điểm BD => I là trung điểm của PQ => M là trung điểm CP 
PQ// BD => ( đồng vị ) 
 ( góc nội tiếp cùng chắn cung AD ) 
 = > Tứ giác ACQP nội tiếp 
=> AM.MQ=CM.MP ( vì MP=CM ) 
Trong tam giác ACQ có MK//CD nên 
0.25
0.25
0.25
0.25
10
(1đ)
B
A
C
B’
A’
C’
I
H
a
a
Gọi H là trung điểm BC => AH ^BC Trong D ABC có 
 => HC=AC .cos300 =
BC=2HC= 
AI2=AC2 + IC 2 = 
B’I2 = B’C’ 2 +IC’ 2 =
AB’ 2= AB 2 +BB’ 2 = 2a2
AI2+AB’ 2 = 
Vậy D AB’I vuông tại A
0.25
0.5
0.25