Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 19

	Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn(4)
Môn: Toán chung
	 Thời gian làm bài : 150'
Bài 1 (2.5 điểm):
 Cho biểu thức: A = 
 a.Rút gọn biểu thức A.
 b.Tính giá trị biểu thức A khi .
Bài 2 (3.0 điểm):
Cho hệ phương trình: 
 a.Giải hệ phương trình khi m = 1.
 b.Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
 c. Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là các nghiệm của hệ phương trình đã cho. 
 CMR: (x2- x1 )2 + ( y2 - y1 )2 1.
 Bài 3 ( 1.5 điểm):
 Tìm các nghiệm nguyên dương của phươnh trình
 Bài 4 ( 3.0 điểm):
 Cho ABC có B = 900 và A > 600 . Gọi M là trung điểm của AC. Đường vuông góc hạ từ A xuống BM cắt cạnh BC tại I. Vẽ đường tròn tâm tiếp xúc với AC tại K. đường thẳng qua A tiếp xúc với (I) tại E ( EK) cắt đường thẳng BM tại N.
a.Chứng minh 5 điểm A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn .
b.Tứ giác EKMN là hình gì ? Tại sao ?
c. CMR: NEB cân. 
Đáp án và thang điểm môn toán chung
 Kỳ thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn.
Bài 1 (1.5 điểm):
a. (2.0 điểm) Điều kiện: . 0.25
 A = 
 0.5 	 0.5 	 0.5	 0.25
b. ( 0.5 điểm )
 Khi 0.25
 Thì A = 1 + 0.25
Bài 2( 3.0 điểm):
a.( 1.0 điểm )
	Hệ phương trình 
Từ (2) x = m - my Thay vao (1) Ta đợc 
	(m2 + 1 ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 - m = 0 (3)	0.25
Khi m = 1 thì phương trình (3) trở thành
	y( 2y - 1 ) = 0 	0.25
	0.25
Hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (;).	0.25
b. ( 1.0 điểm )
Từ x = m - my mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x 
 Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt	0.25
 m( 4-3m) > 0 0 < m < 	0.5
Vậy với m (0;) thì hệ có 2 nghiệm phân biệt.	0.25
c.( 1.0 điểm )
với m (0;) thì phương trình (3)có 2 nghiệm phân biệt y1, y2 thoã mãn:
 và 
x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 )	0.25
Suy ra : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1- 	0.75
Bài 3 ( 1.5 điểm):
	T XĐ : x R
 Từ 
	 (x2 - 5x + 7 )y =2x2- 7x +5
	 (y - 2)x2 + (7 - 5y ) x +7y - 5 = 0 *
+ Nếu y = 2 thay vào * ta đợc x = 3
=> (3;2) là nghiệm nguyên dương của phương trình. 	0.25
+ Nếu y 2 thì * là phương trình bậc 2 đối với x .Phương trình có nghiệm 
 -y2 + 2y + 3 0 -1 y 3	0.25
Do y nguyên dương và y 2 
 Với y = 1 (loại)	0.25
 Với y = 3 x = 4 (thoã mãn)
 Vậy phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm nguyên dương là 
 (3;2) và (4;3). 	0.25
Bài 4 ( 3.0 điểm):
a. ( 1.0 điểm)
Có ABI = 900 (gt) 0.25
AEB = 90o (vì AE là tiếp tuyến ) 0.25
AKI = 90o(vì AK là tiếp tuyến ) 0.25
 B, E,K cùng nhìn đoạn thẳng AI cố định dới một góc vuông.
A, B, E, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính AI . 0.25
b. (1.0 điểm)
Ta sẽ chứng minh tứ giác EKMN là hình thang cân.
Có EK AI và AE = AK ( hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm). 0.25 Mặt khác MN AI nên suy ra EK // MN 0.25 
mà AE = AK . 0.25 
Vậy tứ giác EKMN là hình thang cân. 0.25
c. (1.0 điểm)
* Theo câu b : A, B, E, I nằm trên một đường tròn nên 
 AIB = AEB = NEB (cùng chắn cung AB ) (1) 0.25 
và EBI = EAI ( góc nội tiếp cùng chắn cung EI ) 
*Lại có EAI = IAC (tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm)
 suy ra EBI = IAC (2) 
* M là trung điểm của AC nên MB = MC ( do ABC vuông tại B )
 BMC cân tại M MBC = MCB (3) 0.25
*Kết hợp (2) và (3) MBC + EBI = MCB + IAC
 Mặt khác MBC + EBI = MBE
 và MCB + IAC = AIB (góc ngoài tam giác)
 MBE = AIB (4) 0.25 
*Từ (1) và (4) MBE = NEB NBE cân tại N.(đpcm) 0.25