Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 20

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5)
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150’
Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y + 
	 b = x + y
Giả thiết rằng: xy dương, hãy tính b theo a.
	2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu II (2đ): 1) Giải hệ phương trình: 2x2 - y2 = 1 
	 xy + x2 = 2 
	2) Cho hàm số y = x2 với x ³ -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lượt có hoành độ trái dấu. 
Câu III (2đ): 1) Giải phương trình: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + 8 = 0 
	2) Cho n số thực a1, a2,, ., an sao cho a13 + a23 ++ an3 = 0
Chứng minh: a1 + a2 + .+ an Ê. Biết rằng - 1 Ê ai Ê 1 với i =1,2,,n 
Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD 
	1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đường thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đường thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho D E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất. 
	2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tương ứng M và N sao cho MAN = 450. BD cắt AM, AN lần lượt tại I và K. 
Chứng minh SDCIK = S™NMIK. 
Câu V(1đ): Cho đường tròn (0; R), dựng đường tròn (0’; R’) sao cho 0 nằm trên đường tròn (0’, R’). Dây AB của đường tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đường tròn (0’; R’) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị lớn nhất. 
*****
đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 
chuyên Lam sơn
Câu
Nội dung
Điểm
I
2.0đ
I1
1.0đ
Ta có: a2 = 1 + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1) 
 b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (2)
So sánh (1) và (2) suy ra b2 = a2 - 1 
Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau: 
+ Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b = 
+ Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = - 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
I2
1.0đ
Ta có a2- a + 2 = (a - )2 + ³ ị - [(a- )2 + ] < 0 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, Ta có: với mọi a
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (a-1)2 + 2(a2 - a + 2) 
 = 3[( a - )2 + ] = 3(a- )2 + ³ 
Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x12 + x22 bằng 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II
2,0đ
II1
1,0đ
+ Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x2 = hệ này vô nghiệm. 
 x2 = 2 
+ Nếu y ạ 0 hệ đã cho suy ra xy + x2 = 4x2 - 2y2 Û 3x2 - xy -2y2 (* )= 0 
Chia hai vế của (*) cho y ạ 0 Ta được 3( )2 - ( ) - 2 = 0 
 = 1 x = y
Û Û x =
 = - 
 x = 1 
+ Từ x = y hệ đã cho viết thành x = y Û y = 1
 2x2 - y2 = 1 x = - 1 
 y = -1 
+ Từ x = - hệ đã cho viết thành: x = - 
 2x2 - y2 =1 Hệ này vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 và x = 1
 y = - 1 y = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II2
1,0đ
Đường thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đường phân giác góc phần tử thứ nhất: y = x.
+ Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta được b = 2 
Vậy đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề bài thì phải có: 0 < b Ê 2. 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
III
2,0đ
III1
1,0đ
Vế trái của phương trình đã cho bằng: 
x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 - 90x)-
- (8x2 + 48x - 120) = x2 (x2 + 6x - 15) + 6x (x2+ 6x - 15) - 8(x2+6x-15)
= (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8).
Vậy phương trình đã cho viết thành: (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) = 0
*Giải các phương trình: x2 + 6x - 15 = 0 và x2 + 6x - 8 = 0 ta được phương trình đã cho có bốn nghiệm: 
x1 = -3 + 2; x2 = -3 - 2; x3 = - 3 + ; x4 = - 3 - .
0,5đ
0,5đ
III2
1,0đ
+ Ta có: 4a3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- )2 ³ 0 với mọi a thoả mãn -1 Ê aÊ1
+ Từ đó 4a13 - 3a1 + 1 = 4(a1 + 1) (a1 - )2 ³ 0 
 4a23 - 3a2 + 1 = 4(a2 + 1) (a1 - )2 ³ 0 
 ..
 4an3 - 3an + 1 = 4(an + 1) (an - )2 ³ 0 
Vậy ta có : 4(a13 + a23 +.+ an3) - 3(a1 + a2 +.+an) + n ³ 0
 = 0
Û - 3(a1 + a2 ++ an) ³ - n Û (a1 + a2 + .+an) Ê đ. p. c/m. 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu
Nội dung
Điểm
d’
 0
a
F
 Q
D
 C
b
d
B
P
A
E
IV
IV1
 Gọi P,Q lần lợt là hình
 chiếu của 0 trên d và d’
 Đặt diện tích D 0EF = S
 a Ta có P0E = 0FQ = a (góc 
 có cạnh tơng ứng vuông góc)
 Đặt 0P = a, 0Q = b 
 a
 Ta có 0E = , 0F = 
 Do đó: S = vì a,b không đổi 
 nên S nhỏ nhất khi 2sin a cos a lớn nhất.
Vì sin a, cos a dơng nên 2sina cosa Ê sin2a + cos2a = 1 (BĐTcôsy)
do đó Max (2sina cosa) = 1 khi sina = cosa.
Vậy S nhỏ nhất khi sina = cosa Û a = 450 .Vậy E và F cần dựng thoả mãn P0E = 0FQ = 450. 
* Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d’).
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
VI2
2đ
=
450
I
K
C
N
D
M
B
A
 Vì C đối xứng với A qua DB 
 nên điều phải chứng minh 
 Û S DAIK = SNMIK
 ÛS DAIK= S DAMN
 do IAN = IDN = 450 
 nên tứ giác IADN nội tiếp. 
 Suy ra AI ^ IN 
 Tơng tự ta có AK^ KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp.
 Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra D AKI DAMN
Do đó : = cos 450 = (tỷ số đồng dạng) 
 Vậy: Suy ra điều cần chứng minh.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu
Nội dung
Điểm
B
C
2
K
H
O
O’
A
V
 Gọi H, K lần lợt là trung điểm
 của AB và chân đường vuông góc 
 hạ từ 0 xuống 0’C. Ta có: 
 0H ^ AB và hình chữ nhật 0HCK. 
 Do đó AC2 + BC2 = ( )2
 + = 
 = 2[(R2 - 0H2) + (00’2 - 0’K)2]
 = (R2 - 0H2) + 2[R’2 - (R’ - 0H)2] 
 = 2R2 - 40H2 + 4R’0H =
 = 2R2 + R’2 - (R’ - 20H)2 Ê 2R2 + R’2 
Vậy giá trị lớn nhất của AC2 + BC2 = 2R2 + R’2 đạt được khi 
(R’- 20H)2 = 0 hay 0H = . Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là 
tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn (0’; R’) và (0; ).
*******
0,25đ
0,5đ
0,25đ