Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 23

Đề thi vào lớp 10 THPT Lam Sơn- Thanh Hoá(8)
	môn : toán 
	 Thời gian : 150 phút
Câu 1(2đ): Cho biểu thức:
 A= 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm x để A=
Câu 2(2đ): Cho biểu thức A= y2-5xy + 6x2
a) Phân tích A thành nhân tử
b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn điều kiện:
 x – y + 1=0 và A=0
Câu 3(2đ): Cho phương trình: x2+ax+b=0 có 2nghiệm x1,x2
	Và phương trình x2+cx+ d= 0 có 2nghiệm x3, x4
Chứng minh rằng: 
 2(x1+x3)(x1+x4)(x2+x3)(x2+x4)= 2(b-c)2- (a2-c2)(b-d)+ (a2+c2)(b+d)
Câu 4(2đ): Giải hệ phương trình:
Câu 5(2đ): Giải phương trình
a) 
b) (x-1)6+(x-2)6=1
Câu 6(2đ): Tìm a để 3 đường thẳng sau đây đồng quy:
y= 2x
y=-x-3
 y= ax+5
Câu 7(2đ): Chứng minh rằng tổng bình phương của 1984 số tự nhiên liên tiếp không
Thể là bình phương của một số nguyên . 
Câu 8(2đ): Cho DABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự 
 Là A , F , N . 
a) Chứng minh : 
b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q.
 Chứng minh PQ//BC.
Câu 9(2đ): Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Có một điểm M nằm trên 
cung AB sao cho CA < CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax và By theo thứ tự tại P và Q, gọi R là giao điểm của AM và CP, S là giao điểm của BM và CQ.
a) Chứng minh tứ giác APMC, BQMC nội tiếp.
b) RS//AB
c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành được không ? tại sao?
Câu 10(2đ): Cho hai đường thẳng d và d’ và có một điểm A không ở trên d và d’. 
 Hãy dựng điểm B trên d và C trên d’ sao cho: ABC là tam giác đều.
Bảng hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào 10 thpt lam sơn
Thời gian : 150 phút
Môn : toán
Bài 1: (2đ)
 a) (1đ)
- Điều kiện:, 	đ 
 - Ta có : A= 	đ
 b) (1đ)
 A= 
 	đ 
Đặt 
 	đ
 	 đ
 	đ
Bài 2: (2đ)
 a)(1đ)
Ta có : A=
 = 	đ
 b)(1đ)
Ta có : 
Để thoả mãn điều kiện bài toán ta có hai hệ:
 và 	đ
Hệ (I) có nghiệm: 	đ
Hệ (II) có nghiệm: 	đ
Bài 3(2đ)
 Phương trình: có hai nghiệm: 
 Phương trình: có hai nghiệm : 
 Đặt 
 Ta có: 	(1)
 	(2)
Nhân vế với vế tương ứng của (1) và (2) ta được :
Biến đổi vế phải: ( Dùng ) 
Ta được: VP = 
 đpcm.
Bài 4(2đ):
 Từ phương trình đầu suy ra : 	đ
 Từ phương trình hai suy ra : 	đ
 Vậy 	 	đ
Từ đó ta có hệ: 	 đ
 	đ
 KL: và 	đ
Bài 5(2đ):
 a)(1đ) Phương trình đã cho viết lại nh sau:
 	đ
 Nhận thấy: 
 	đ
 	đ
Vậy : 	đ
 b)(1đ)
Giải phương trình: 
Đặt: 	đ
Ta được: 
Giải hệ 
Bài 6(2đ):
 Đặt: 
 là nghiệm của hệ 	đ
Để 
 	đ
KL: Vậy =-3 	đ
Bài 7(2đ):
 Giả sử có những so nguyên không âm a và b sao cho:
 	đ
 Sau khi tính tổng bên trái và rút gọn:
 	đ
Từ đây ta thấy số mũ lớn nhất của số 2, mà bên phải chia hết cho nó 
là 5, trong khi đó bên phải (nó là số bình phương) số mũ này là số 
A
C
B
S
M
I
E
F
mũ chẵn. Suy ra những số với t/c đã cho là không có. 	đ
Bài 8(2đ):
 a)(1đ)
 Kẻ 
Ta có: 
 	đ
 Ta có: (cgc)
 Vậy: 
 Thay vào (*) ta được (đpcm) 	đ
 b)(1đ)
 + Khi là trung điểm của EF đ
 +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L
Ta có: 	đ
M
B
C
A
Q
H
K
P
N
E
 Do đó : 
 	đ
+Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
KM tại H
Ta có 
Do đó: 
Từ (đpcm) 	 đ