Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 25

Đề thi chuyên lam sơn (10)
Môn : Toán
(Toán chung)
Bài 1 : (2đ) Cho biểu thức :
Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P .
Tìm x thoả mãn : 
Bài 2 : (3đ)
Giải phương trình :
Giải hệ phương trình :
x2y – 2x + 3y2 = 0 
x2+ y2x + 2y = 0 
Giải phương trình :
Bài 3 : (1,5đ) 
Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng :
 .
Bài 4 : (2đ) Cho với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần lượt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp . Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC .
Chứng minh rằng : .
Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng . 
Bài 5 : (1,5đ) Hình tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với cạnh CD, AD=AC, diện tích của thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm của cạnh DC bằng S ; DC=a . Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a và S .
Đáp án Đề thi chuyên lam sơn
Môn : Toán
(Toán chung)
Bài 1 : (2đ)
Điều kiện x>0 
Ta có : (0.25đ)
P= 	 	(0.25đ)
 P-1=	(0.25đ)
Vậy 	(0.25đ)
b. 	
 4	(0.25đ)
3x + 6 -1 = 0	(0.25đ)
(loại) 	
(thỏa mãn) 	 (0.25đ)
 (thoã mãn điều kiện x>0) .	(0.25đ)
Bài 2 : (3đ)
a. Giải phương trình : 	(1)
ĐK : 	
 	(0.25đ)
	(0.25đ)
 	(0.25đ)
 (thỏa mãn) 	(0.25đ)
b. Giải hệ phương trình :	 x2y – 2x + 3y2 = 0 
x2+ y2x + 2y = 0 
Nếu y=0 x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phương trình . 
Với y0 hệ đã cho trở thành x2y – 2x + 3y2 = 0 
(1)
 	 	x2y+ y3x + 2y2 = 0 	(0.25đ)	
(2)
Nhận thấy không thoả mãn hệ phương trình .
Xét từ (1) thay vào (2) ta có :
	(0.25đ)
 	(0.25đ)
Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2;) .	(0.25đ)
c. 
 (0.25đ)
 	(0.25đ)
 	(0.25đ)
 .	(0.25đ)
Bài 3 : (1.5đ)
Đặt b+c=x , c+a=y, a+b=z (ĐK: x,y,z>0)	
 	(0.25đ)
 Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có :
(1) 	(0.25đ)
áp dụng bất đẳng thức CôSi cho các số dơng :
	(0.25đ)
Thay vào (1) ta có : VT 	(0.25đ)
Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi :
 	 	(0.25đ)
 a= (loại vì a >0)	(0.25đ)
Vậy không có dấu bằng xảy ra . 
Bài 4 :
O
M
F
C
N
B
E
A
P
Q
Ta có : BOP là góc ngoài BOP= OAB + OBA = (BAC + ABC)
Lại có : PNB=1800 – MNC =1800 - (0.25đ)
 BOP+PNP=1800 tứ giác BOPN nội tiếp 
(0.25đ)
 OPM = OBC (cùng bù OPN ) 
Mặt khác : OMP = OCN 	 OPM OBC (g.g)
 (1)	(0.25đ)
Tơng tự ta có :
ONQ OCA (g.g) 
AOB QOP (g.g) ‚	(0.25đ)	
Từ (1) , (2) hay :	(0.25đ)
b. Tứ giác AMQO nội tiếp (CM trên)
 AQO=AMO = 900 ABQ vuông tại Q có QE là trung tuyến (0.25đ)
 EQB= EBQ=CBQ	
EQ//BC	(0.25đ)
mà EF//BC E, Q, F thẳng hàng .	(0.25đ)
A
Bài 5 :
C
H
D
B
M
Ta có : AC = AD gọi M là trung điểm của CD vì ACD cân (0.25đ)
 	AMCD
	AB CD CD (ABM) CD BM .	(0.25đ)
Ta có thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm CD là mặt phẳng (ABM) 
Ta có :	CD BM
	CM=MD BCD cân tại B 	(0.25đ)
Từ A hạ đường vuông góc cắt BM tại H 
	AH BM
	AH CD lại có BAM CD 	(0.25đ)
AH (BCD) . Vậy AH chính là đường cao của tứ diện ABCD hạ từ A .
(0.5đ)
VABCD =SBCD.AH=AH.BMCD=AH.BM.CD=SABM.CD=.S.a=(đvtt)