Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 26

Đề thi vào lớp 10 Trường THPT Lam Sơn (11)
Môn Toán chung
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình:	2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0.
	a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm nguyên.
	b) Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	A = ờ2x1x2 + x1 + x2 ờ.
Câu 3: (2 điểm)
	a) Giải phương trình:	.
	b) Tìm trên đường thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn:
y2 – 5y+ 4x = 0.
Câu 4: (2 điểm) Cho DABC đều, nội tiếp trong đường tròn tâm O. D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC.
	a) Chứng minh DAEB = DCDB.
	b) Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm) Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của DABD, M là một điểm thuộc cạnh BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh:	MG // (ACD).
Câu 6: (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
 Đáp án gồm 3 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.
Câu
ý
Nội dung
điểm
1
1a
 Điều kiện để P có nghĩa: .
 Ta có: 
0,50
0,50
0,25
0,25
1b
 Theo câu a ta có: .
 Do đó để P ẻ Z thì ta cần ẻ Z Û 
Û x = 1.
 Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên.
0,25
0,25
2
2a
 Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên có 2 nghiệm khi và chỉ khi:
D’ = m2 – 2(m2 – 2) ³ 0 Û 4 – m2 ³ 0 Û -2 Ê m Ê 2.
 Vậy giá trị cần tìm của m là: - 2 Ê m Ê 2.
0,25
0,50
0,25
2b
 Vì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 nên ta có -2Ê m Ê 2 và theo định lý Viét thì: x1 + x2 = -m; x1x2 = .
 Do đó: A = ờ2x1x2 + x1 + x2 ờ= ờ(m2 – 2) - m ờ
.
 Vì -2 Ê m Ê 2 
.
 Vậy maxA = 4 đạt khi m = -2.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
3a
 Điều kiện: x ³ 1.
 Ta có: 
0,25
0,25
0,25
0,25
3b
 Điều kiện: x ³ 0.
 Khi đó ta có: y2 – 5y+ 4x = 0 
.
 Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x0 ³ 0 và:
 .
 Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = .
0,25
0,25
0,25
0,25
4
4a
 Vì DABC đều nên AB = CB (1).
Theo giả thiết ta có AE = CD (2).
 Ta lại có (cùng chắn
cung AD) (3).
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: DABE = DCBD.
0,25
0,25
0,25
0,25
4b
 Theo câu a ta có: DABE = DCBD
ị BE = BD ị DBED cân.
 Mặt khác ta lại có: (cùng chắn cung AB)
ị DBED đều ị BD = ED.
 Vậy ta có: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA
 Vì điểm D thuộc cung BC không chứa A nên suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kính của đờng tròn (O), hay D là điểm chính giữa của cung BC nhỏ.
0,25
0,25
0,25
0,25
5
 Gọi I là trung điểm của AD. Theo tính chất của trọng tâm tam giác ta có: (1)
 Theo giả thiết ta có: (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: GM // IC. (3)
 Nhưng I ẻ AD ị IC ẻ (ACD) (4)
 Từ (3) và (4) suy ra: GM // (ACD).
6
 Ta có: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 
= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2
= 2x2y2 – 4xy + 1.
 Vì x > 0 và y > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
 Dấu bằng xảy ra khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
-----------------------------------------Hết---------------------------------------------------