Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 28

Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13)
Môn : Toán chung
 (Thời gian làm bài 150 phút)
 Không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2 điểm)
Cho P = .
a, Rút gọn P.
b, Chứng minh rằng nếu thì P có giá trị không đổi.
Bài 2 ( 2 điểm)
	Tính giá trị biểu thức Q = 
 	Biết và .
Bài 3 ( 2 điểm)
 	Cho phương trình bậc 2 ẩn : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0.
 	Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài 4 ( 2 điểm)
 	Xác định a, b để hệ phương trình : 
 	a, Có nghiệm là x =1, y = 2
 	b, Có vô số nghiệm. 
Bài 5 ( 2 điểm)
 	Giải phương trình : = 2
Bài 6 ( 2 điểm)
 	Cho hàm số y = ax2 (a ạ 0)
 	a, Xác định a biết đường cong y = ax2 đi qua điểm A(3;3). Vẽ đồ thị của hàm số tìm được.
 	b, Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m ạ 0) và đi qua điểm (1;0). Tìm m để đường thẳng đó tiếp xúc với parabol y = x2.
Bài 7 (2 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức :
E = .
Bài 8 ( 2 điểm)
Cho DABC cân (AB=AC, gócéBAC = 450). Một điểm M ở trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB tương ứng tại các điểm H,I. Lấy điểm N đối xứng với M qua đường thẳng HI; Gọi giao điểm của các đường thẳng AN và BC là P.
a, Tứ giác AHMI là hình gì? DINB là tam giác gì? Tại sao?
b, Chứng minh tứ giác AHIN là hình thang cân.
Bài 9 (2 điểm)
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.
Bài 10 ( 2 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'.
a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và mặt phẳng (AA'B'B)
b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phương do mặt phẳng (MNP) cắt ra.
Đáp án - Hướng dẫn chấm
Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán chung
Bài
Lời giải
Điểm
Bài 1
2 điểm
a,
Điều kiện xy > 0, x ạ y
 P = 
 P = 
0.5 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b,
Do = ị y = 5x
Ta có P = == 
ị P có giá trị không đổi
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 2
2 điểm
Ta có 
Suy ra ==
 = =
Suy ra 25 – a2 = 16 ị a2 = 9 ị a= ±3
Mặt khác Q = ==
 == a – 2, với a ạ - 1
Với a = 3 thì P = 1
với a = -3 thì P = -5
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 3
2 điểm
Giả sử x1 = 2x2 ị 
 ị 2x22 – 3x2 + 1 = 0 ị 
Với x2 = 1 ị x1 = 2 ị m = 
Với x2 = ị x1 = 1 ị m = 
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 4
2 điểm
a,
Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 khi 
 ị a = ; b = 
0.5 điểm
0.5 điểm
b,
Từ (1) ị x = thay vào (2) ta có a. + by = 1
y(a2 + 2b) = 2 – ab (3). Phương trình (3) có vô số nghiệm khi
 ị 
0.5 điểm
0.5 điểm
Bài 5
Điều kiện : x ³ 
Phương trình Û + 1 + | - 1 | = 2
 Û | - 1 | = 1 - 
Đặt y = , y ³ 0
Phương trình: | y – 1 | = 1 – y Û y Ê 1.
Kết hợp với điều kiện 0 Ê y Ê 1 ị 0 Ê Ê 1Û Ê x Ê 1
 Đáp số : Ê x Ê 1
0.5 điểm
0.5 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 6
2 điểm
a,
Đường cong y = ax2 đi qua A(3;3) ị a = 
ị y = x2
0.5 điểm
0.5 điểm
b,
Đường thẳng có hệ số góc m có dạng y = mx + b
qua (1;0) ị b = - m ị đường thẳng y = mx – m
Đường thẳng y = mx – m tiếp xúc với (P) y = x2 khi phương trình
x2 = mx – m (1) có nghiệm 1 nghiệm kép ị m = 
ị đường thẳng y = x - 
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 7
2 điểm
Đặt a = , b = , c = ị abc = = 1
ị x + y = c(a + b)
 y + z = a(b + c)
 x + z = b(c + a)
ị E = + +
Dễ dàng chứng minh đợc + + ³ 
Nhân hai vế với a + b + c > 0
ị + + ³ (a+b+c)
ị + +³ ³ = 
ị E ³ 
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1
Vậy min E = khi a = b = c = 1
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 8
2 điểm
a,
I
D
K
E
N
 B M
C
H
A
 P
Ta có AHMI là hình bình hành (có cạnh đối song song)
Vì M, N đối xứng nhau qua HI
 ị IN = IM . 
Mặt khác do IM//AC 
ị góc éIMB = éACB =éIBM 
ị DIBM cân
ị IM = IB. Vậy IN = IM = IB 
ị DINB cân
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b,
Vì N, M đối xứng với nhau qua HI nên HI là đường trung trực của MN và đi qua trung điểm E của NM. 
Mặt khác do AHMI là hình bình hành do đó HI cắt AM tại trung điểm D của AM. Vậy DE là đường trung bình của DNMA.
ị DE//NA hay HI//NAị tứ giác AHIN là hình thang. Ngoài ra ta có NH=HM (do N đối xứng với M qua HI)
HM=AI (do AHMI là hình chữ nhật) ị NH = AI. Vậy hình thang AHIN có 2 đường chéo bằng nhau do đó nó là hình thang cân
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
Bài 9
2 điểm
a,
A
M
B
O
C
H
K
Chứng minh đợc OM ^ BC
DHOK ~ DAOM
ị =
ị OA.OK = OH.OM (1)
Xét DBOM vuông tại B
nên OB2 = OH.OM (2)
Từ (1) và (2) ị OA.OK = 
= OB2 = R2 (không đổi)
ị OK = không đổi 
ị K cố định trên OA
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b,
H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
0.5 điểm
c,
S = dtMBOC = MO.BC
ị S nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất 
 ị OM nhỏ nhất Û M º A
BC nhỏ nhất Û BC ^ OK Û M º A
0.25 điểm
0,25 điểm
Bài 10
2 điểm
a,
Q
D
C
B
A
A'
C'
D'
P
M
N
B'
- Ta có MN//B'C' 
nên giao tuyến của mp(PMN) và mp(A'B'C'D') là PQ//B'C'
- Ta có Q, M ẻ mp(PMN) và Q,M ẻ mp(AA'BB'). 
Vậy giao tuyến của mp(PMN) với mp(AA'BB') là QM
0,5 điểm
0,5 điểm
b,
 Mặt phẳng (PMN) chia hình lập phương thành 2 lăng trụ đứng B'QM.C'PN và AA'QMB.DD'PNC có đường cao là a, nên tỷ số thể tích của chúng chính là tỷ số các diện tích đáy.
 Vậy : = = = 
0,5 điểm
0,5 điểm