Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 36

đề thi vào lớp 10 THPT chuyên lam sơn
Giáo viên: Lê Thị Dung - THPT Tĩnh Gia 2
Bài 1:(2 đ) Cho biểu thức:
B = 1+
a) Rút gọn B
b) Cho B = , tìm giá trị của a..
c) Chứng minh rằng: B > 
Bài 2: (2 đ)
a) Cho phương trình: x2- 2(m+4)x + m2- 8 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiêm x1, x2 sao cho:
P = x1+ x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
b) Giải hệ hương trình: 
Bài 3:( 2 đ) Cho ABC cân ở C nội tiếp trong đường tròn có đường kính CK. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( MB,MC), trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MB = MD
a) Chứng minh rằng: MK//BD
b) Kéo dài CM cắt BD tại I. Chứng minh: MA+MBCA+CB
Bài 4:( 2 đ) Cho 3 tia Om, On, Ot không cùng thuộc một mặt phẳng sao cho mOn = 900, mOt = 1200,nOt = 600. Lấy E, F, I lần lượt trên Om, On, Ot sao cho OE=OF=OI=a. Gọi K là trung điểm EI.
a) Chứng minh rằng: EFI vuông
b) Chứng minh rằng: OK(EFI). Tính thể tích hình chóp OEFI.
Bài 5:(2 đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2+1)(x2+y2)=4x2y
b) Tính tổng: 
S = 
đáp án đề thi tuyển sinh vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn
Bài 1:(2 đ)
a)(1 đ) Điều kiện để B có nghĩa là: a>0, a1, a (0.5 đ)
Ta có: B = 1+
	 = 1+ 
	 = 1+ 
	 = 1+ 
	 = 1+ 
	 = 1+	(0.5 đ)
b) (0.5 đ) Khi B = ta có 
c) (0.5 đ)
	Ta có a, a1, a
	 a+1 > 
	(Do ) B > (đpcm)
Bài 2:(2 đ)
a)(1đ) Điều kiện để phơng trình x2-2(m+4)x+m2-8 = 0 có hai nghiêm x1, x2 là:
	(0.5 đ)
	Theo Viét ta có 
	P = x1+x2- 3x1x2=2(m+4)-3(m2- 8) = - 3m2+ 2m +32 = - 3(m - )2+
	P đạt giá trị lớn nhất =m=	(0.5 đ)
b)(1 đ)
	(0.5 đ)
	- Nếu x=0 thì y2= 
- Nếu y=0 thì x2= 
- Nếu x=-y thì x2+x2= 
 	(0.5 đ)
Vậy hệ đã cho có 6 cặp nghiệp (0;1); (0;-1), (1;0), (-1;0),
 (), ()
Bài 3:(2 đ)
a) (1 đ) Theo giả thiết: MB=MD MBD cânMBD=MDB 	(1)
Tam giác vuông KCB = Tam giác vuông KCA vì
 KCB=KCA cung KB = Cung KA
mà BMK=BCK ( Cùng chắn cung KB)
 KMA=KCA ( Cùng chắn cung KA)
BMK=KMA	(2)
Mặt khác: 
BMA=DBM+BDM (Góc ngoài tam giácBDM )
	 BMA=BMK+KMA
 DBM+BDM=BMK+KMA (3)
Từ (1), (2), (3) DBM=BMK( góc so le)
 MK//B D (đpcm)
b) (0.5 đ) Ta có: CMK=900 (góc chắn nửa đờng tròn)
CMKM mà MK//BD CM BD
Mà tam giác MBD cân ở M MI là đờng cao cũng là trung tuyếnIB=ID
Tam giác vuôngIBC=Tam giác vuôngIDC vì
 CB = CD = CA (gt)
(0,5đ) Trong CAD ta có AD CD+CA do (đpcm)
Bài 4:(2 đ)
a) (1 đ) Ta có: (gt) OIF đều cạnh a IF =a
do OE=OI OEI cân ở O
K là trung điểm cạnh EI OKEI	
xét tam giác vuông OEK có KOE=600 
KE=OE.Sin600 = 
 OK=OE.Cos600 = 
Do đó: EI=2EK=	(0.5 đ)
mặt khác: (gt)
	 EOF vuông tại O
 EF = 
Vậy EF2+FI2 = 3a2=EI2 EFI cân ở F 	(0.5 đ)
b)(1 đ)
Theo câu a, trong vuông EFI có FK là trung tuyến KF=KE=KI
Xét OKE và OKF có OKE=OKF
 OKE=OKF= 900 ( do OKEI) OK KF mà OKEI OK(F, EI)
tức OK(EFI) 	(0.5 đ)
Vậy VOEFI=VEFI.OK=.EF.FI.OK mà EF=, FI=a, OK=
VOEFI= ( Đơn vị thể tích) 	(đpcm)	(0.5 đ)
Bài 5:( 2 đ)
a) (1 đ) 	(x2+1)(x2+y2)=4x2y
	 x4+ x2y2+ x2 + y2- 4x2y = 0
	 (x4-2x2y+y2)+(x2y2-2x2y+x2)=0
	 (x2- y)2 +x2(y-1)2 = 0
Đẳng thức xảy ra khi: 	(0.5 đ)
	+. Nếu x=0 y=0
	+. Nếu y=1 x2=1 x= 1
Vậy có 3 cặp nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:
(0;0), (1;1), (-1;1)
b) (1 đ)Nhận xét
 (0.5 đ)
vậy: S = (0.5 đ)