Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 37

sở gd&đt thanh hóa
đề thi vào 10 chuyên lam sơn (21)
(đề thi chung –vòng 1)
môn thi :toán
thời gian :150 phút
Câu 1
 Giải phương trình : =5
Câu 2 
 Giải hệ phương trình sau
 2x3+ 3x2y = 5
 y3 + 6xy2 = 7
Câu 3: 
 Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn đẳng thức 
 x2 + xy + y2 = x2y2
Câu 4: 
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R ( R>0). M, N là 2 điểm thuộc nửa đường tròn đó sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến MN bẳng R.
Tính độ dài MN theo R.
Gọi giao điểm AN và BM là I, giao điểm của AM và BN là K. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi MN thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Câu 5:
 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn : x2-2y2=5 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= 
đáp án đề thi vào chuyên lam sơn
(Đề thi chung - vòng 1)
Câu 1: ( 1.5điểm )
 Đặt =t (0.25đ)
 Phơng trình trở thành : . Bình phơng hai vế ta có 
 (0.25đ)
 (0.25đ)
 (0.25đ) 
 so sánh điều kiện => t=1 thỏa mãn (0.25đ) 
 (0.25đ)
 Kết luận :	Phơng trình có nghiệm x=1.
Câu 2: (2điểm) 
 8x3+ 12x2y = 20 (2x+y)3 = 27
 (1) y3 + 6xy2 = 7 y3+6xy2 =7 (0.5đ)
 2x+y=3 (2)
 2y3- 9y2 +7 =0 (3) (0.5đ)
 giải (3) ta đợc: y=1; y= (0.5đ)
Vậy hệ phơng trình có nghiệm :
 (1;1) ; ( (0.5đ)
Câu 3: ( 2đ)
 Với 
Ta có 
 x2y2 4x2
 x2y2 4y2	(0,25đ) 
x2y2 2(x2+y2) = x2+y2+x2+y2 x2+y2 +2>x2+y2 +xy ( 0,5đ)
Với x= phơng trình không có nghiệm nguyên	(0,5đ)
Với y=
Thử x=0 => y=0	(0,25đ)
Thử x=1=> y=-1	(0,25đ)
Thử x=-1 => y=1	(0,25đ)
KL hệ có nghiệm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1).
Câu 4: (3điểm) 
( 1 điểm) Dựng AA’ ,BB’ vuông góc với MN 
 Gọi H là trung điểm của MN 
OHMN	 (0,25đ)
 Xét hình thang AA’B’B ta có 
 OH=(AA’+BB’)=	 (0,25đ)
 áp dụng Pi ta go trong tam giác 
MH = => MN =R và OMN đều 	 (0,5đ)
( 1 điểm)
Do KMN =1vuông 
 KNI = 1vuông 
M,N,I,K thuộc đờng tròn đờng kính IK	(0,25đ)
 Gọi O’ là trung điểm của IK 
 AKN =(sđ AB - sđ MN ) = 600	(0,25đ)
=> MO’N = 2 MKN = 1200	(0,25đ)
MN=O’M hay MO’ =	(0,25đ)
đờng tròn đi qua M,N,I,K là đờng tròn dơng kính BK=
(1điểm)
 K nằm trên cung chứa góc 600 dựng trên đoạn AB =2R nên diện tích KAB lớn nhất đờng cao KP lớn nhất (0.5đ)
 KAB đều (0.25đ)
 => diện tích KAB = (0.25đ)
Câu 5: (1 điểm) 
 Đặt t = x-y+1 => y=x+1-t => 5=x2-2y2=x2-2(x+1-t)2
 x2+4(1-t)x+2t2-4t +7= 0 (0.5đ)
 Để tồn tại x,y thì 
 2t2-4t- 3 0 (0.25đ)
 => Min (0.25đ)