Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 38

Sở giáo dục đào tạo thanh hoá
Đề thi vào lớp 10 chuyên lam sơn (22)
môn toán chung
Thời gian 150’
Bài: 1(2.5đ)
1. Giải phương trình:	
2. Chứng minh rằng:
	a\	ax2+(ab + 1)x + b = 0 có nghiệm với mọi a, b
	b\	Tìm a và b để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1/2
Bài 2:(2đ) Cho hệ phương trình
	a\ Giải hệ với m=2
	b\Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
Bài :3(3đ)
	Cho tam giâc ABC vuông tại A có độ dài các cạnh là BC = a, AC= b, AB=c; Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng 2 nửa đường tròn đường kính AB và AC. Cát tuyến di động qua cắt nửa đường tròn đường kính AB ở D và nửa đường tròn đường kính AC tại E.
	a\ Chứng minh rằngtứ giác BDCE là hình thang vuông và trung điểm O của BC cách đều D và E.
	b\Tìm quĩ tích trung điểm M của DE
	c\ Gọi P là chu vi của tứ giác BDCE. Tìm giá trị lớn nhất của P theo a,b,c
Bài 4:(1.5đ)
	Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài các cạnh bên và đáy đều bằng a
	a\ Gọi O là trung điểm của đường cao SH. Chứng minh rằng AO vuông góc với mặt phẳng (BOC)
	b\Tính thể tích hình chóp O.ABC
Bài 5:
	Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh rằng:
Sở giáo dục đào tạo thanh hoá
Đáp án lớp 10 chuyên lam sơn
môn toán chung
Đề đề xuất
Thời gian150’
Bài: 1(2.5đ)
1. Giải phơng trình:	
	0.5đ
 	 0.25đ
 	 0.25đ
2. Chứng minh rằng
a\	ax2+(ab + 1)x + b = 0 có nghiệm với mọi a, b	 	
	Với a=0; phơng trình có nghiệm x=-b 	0.25đ
 Với aạ0 ta có =(ab – 1)2 0 	 	0.25đ
Kết luận:	phơng trình có nghiệm với mọi a, b
b\	Tìm a và b để phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1/2
	Nếu a=0; để phơng trình có nghiệm duy nhất x=1/2 thì b=-1/2 0.25đ
	Nếu aạ0 thì pt có nghiệm duy nhất khi ab=1 0.25đ
	Khi đó 
	 0.5đ 
Kết luận:	Để phơng trình có nghiệm duy nhất x=1/2 thì b=-1/2 và a=-2 0.5đ
Bài 2:(2đ) a\ Giải hệ với m=2
	Đặt S=x+y;	P=xy	0.25đ
	Giải đợc S=2; P=0	0.25đ	
Suy ra 	 và 	0.5đ	
	b\Để hệ phơng trình đã cho có nghiệm khi phơng trình: x2 + (m – x)2 =4 có nghiệm	0.25đ
	 có nghiệm	
	0.25đ
	0.25đ
Kết luận:	Để hệ phơng trình đã cho có nghiệm khi 	0.25đ
Bài :3(3đ)
a\: Ta có BD 
	 CE	Suy ra tứ giác BDEC là hình thang vuông	0.25đ
	M là trung điểm của DE suy ra OM	B
	là đờng trung bình của hình thang BDEC	0.25đ
	nên OM	0.25đ
	Vậy O cách đều D và E	K	0.25đ
	D	 O
 	 C
	 A	I
	M
	E
b\Từ câu a ta có: AM	0.25đ
 suy ra quĩ tích của M là đờng tròn đờng kính AO	0.25đ
Giới hạn:
	Khi D trùng B thì E trùng A
	Khi D trùng A thì E trùng C	0.25đ
Nên quĩ tích của M là nửa đờng tròn đờng kính KI 	0.25đ
c\ Đặt BD=x; DA=y; AE=z; EC=t
ta có P=x+y+z+t+BC	0.25đ
mặt khác:	x+y
	z+t	0.25đ
 vậy P lớn nhất khi x=y; z=t và Pmax=(b+c)+a	0.5đ
Bài 4:(1.5đ)
	S
	 O	
	C
	 A	 H
	B
a\ Ta có HA=HB=HC=a	HO=	
	OA=OB=OC=	0.25đ
áp dụng định lý pitago suy ra OA, OB, OC đôi một vuông góc
 nên OA	 	0.25đ
b\	VO.ABC=	0.5đ
Bài 5: Vì a>0, b>0, c>0 Ta có:	
	0. 5đ	
Tơng tự:	 	
	0.25đ	
Cộng vế với vế ta đợc (đpcm)	0.25đ