Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án - Đề 40

Sở GD&ĐT Thanh hoá 
 Đề thi vào lớp 10 chuyên lam sơn (24) 	 	 Môn: Toán.
 	 (Thời gian làm bài: 150 phút )
Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x2 - (2m +1)x + m2 +m - 6 = 0
1) Xác định m để phương trình có hai nghiệm đều âm
2) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thảo mãn ẵx13 - x23ẵ =50
Bài 2: (2 điểm)
1) Tìm đa thức f(x) biết: 	f(x) chia cho x-1 dư -3
f(x) chia cho x+1 dư 3
 	f(x) chia cho (x-1)(x + 1) dư được thương là 2x và còn dư.
2) Giải phương trình sau: 	(6x + 7)2 (3x + 4) (x+1) =6
Bài 3: (2 điểm)
1) Tìm tất cả các x, y thỏa mãn 
2) Cho n là số tự nhiên n ³ 2. Chứng minh
Bài 4: (2 điểm)
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất KH.KM.
Bài 5: (2 điểm)
Dựng tam giác ABC biết trung điểm của hai cạnh tam giác và biết đường phân giác trong kẻ tới một trong hai cạnh này của tam giác nằm trên một đường thẳng đã cho.
Hớng dẫn chấm thi vào 10 chuyên lam sơn	 
Môn: Toán. 
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
2
1
1
Tính D = (2m +1) 2 - 4(m2+m-6) = 25
x1 = m+ 3; x2 = m-2
Để hai nghiệm đều âm 
0,5
0,5
2
1
Ta có ẵx13 - x23ẵ=ẵ (m+3)3 - (m-2)3ẵ =50
Û ẵ 3m2 +3m +7ẵ =10 Û 3m2 + 3m -3 =0
 và 
Đáp số 
0,5
0,5
Câu 2
2
1
1
Theo bài ra ta có
f(x) = (x + 1) (x -1)2x + (ax +b)
f(1) = a +b = -3
f(-1) = -a +b = 3
Ta có hệ: 
Vậy f(x) = (x+1)(x-1)2x -3x= 2x3 - 5x
0,5
0,5
2
1
 (*)
Đặt (3x2 +7x +4) =y 
Phơng trình y(y+) = Û 12y2 +y - 6 = 0 Û y=
* Với y= Û 3x2 +7x+4 =
Đáp số 
0,5
0,5
Câu 3
2
1
Hệ 
Do (1) ta có -1Ê x Ê 1; -1Ê y Ê 1
- Nếu x1 (vô lý)
- Nếu y 1 (vô lý)
- Nếu 0 <x < 1 và 0 <y <1 
1³ x4 + y4 > x5 + y5 >1 (vô lý)
Vậy x= 0 hoặc x =1
Với x= 0 thì y =1 thỏa mãn hệ
Với x =1 thì y =0 thỏa mãn hệ
0,5
0,5
2
2
Nhận xét k ẻ N; k ³ 2 ta có
Vậy từ bài toán ta có
0,5
0,5
Câu 4
2
 llllllllllllllllllllll
- Ta có: DKAH~DKMB (g.g)
= KH.KM =KA.KB
- Nhận xét: (KA- KB)2 ³ 0 dấu "=" khi KA= KB
KA2 - 2KA.KB +KB2 ³ 0 
2KA.KB Ê KA2+KB2
Û 4KA.KB Ê KA2+KB2 + 2KA.KB 
Û KA.KB Ê 
Vậy KA.KBmax = KH.KMmax = 
Û K là trung điểm của AB
DMAB cân tại M (vì đờng cao là đờng trung tuyến)
0,5
1,0
0,5
Câu 5
2
- Giả sử đã dựng đợc tam giác ABC thỏa mãn. Gọi N' là điểm đối xứng N qua (d) , N' ẻ AB. Mặt khác MN// AB (đờng trung bình) 
AN'//MN từ đó ta có cách dựng:
- Dựng N' đối xứng N qua (d). Từ N' dựng đờng thẳng t//MN, t cắt d tại A. Dựng C đối xứng với A qua N. Đờng thẳng CM cắt AN' tại B
Tam giác ABC là tam giác cần dựng. Ta dễ dàng chứng minh tam giác ABC thỏa mãn các điều kiện bài toán
Biện luận:
- t//d bài toán vô nghiệm
- t giao d tại một điểm bài toán có 1 nghiệm
- t trùng d bài toán vô số nghiệm hình
0,75
0,25
0,5
0,5