Đề thi học sinh giỏi toán thành phố hà nội năm học: 2013 - 2014 thời gian làm bài: 180 phút

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
Năm học: 2013 - 2014 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1: (5 điểm) 
Cho hàm số 3 3 4y x x   có đồ thị (C) 
a. Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm 
1
; 2
2
I
  
 
 là trung điểm của đoạn thẳng 
MN. 
b. Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại 
điểm thứ hai lần lượt là ' ' ', ,A B C . Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng 
hàng. 
Bài 2: (5 điểm) 
a. Giải phương trình:  2 22 2 5 4 1 3x x x x     
b. Giải hệ phương trình: 
3 3 2
2 2
3 6 3 4 0
2 4 3 3 2 3 2 0
x y x x y
x y y x
      

      
Bài 3: (2 điểm) 
Cho cá số thực a, b, c sao cho 0, 0, 0 1a b c    và 2 2 2 3a b c   . Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
6
2 3 3P ab bc ca
a b c
   
 
Bài 4: (3 điểm) 
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt   , , zOxxOy yOz y    . 
Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA OB OC a   với a > 0 . 
Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 
a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2BM MC và I là trung điểm của đoạn thẳng 
AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo  trong trường hợp 0 060 , 90     
b. Chứng minh rằng: 
3
cos os + os
2
c c     
Bài 5: (3 điểm) 
Cho dãy số ( )nu thỏa mãn điều kiện: 
1
2
1
2
2013
, 1, 2,...
2014 2014
n
n n
u
u
u u n



  
a. Chứng minh rằng ( )nu là dãy số tăng 
b. Với mỗi 1, ,n n N  đặt 
1 1
n
n
n
u
v
u 


. Chứng minh rằng: 1 2 ... 2014nv v v    với 
mọi 1n 