Đề thi học sinh giỏi văn hóa năm học 2008-2009 đề thi môn: Toán

PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1:(1 điểm)
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : +2009+2008+2009
Câu 2:(1 điểm)
 Giải phương trình sau:
 +=+
Câu 3: (2 điểm)
 a/ Chứng minh rằng 
 b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P= 
Câu 4:(2 điểm)
a/ Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện : 
 Hãy tính tổng: S= 
 b/ Chứng minh rằng :A= là số nguyên
Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau:
 xy-2x-3y+1=0
Câu 6: (3điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E.
 a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
 b)Chứng minh tam giác ABE cân.
 c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: 
PHÒNG GD-ĐT CAM LỘ
KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Câu 1: (1 điểm)
 +2009+2008+2009
 = (++1)+2008(++1) 0,25 đ
 = (++1)( -+1)+ 2008(++1) 0.5 đ
 = (++1)( -+2009) 0,25 đ
Câu 2: ( 1 điểm)
 +=+
 (+1)+(-1)=(+1)+(-1) 0,25đ
 =+ 0,25đ
 0,25 đ
 x=-15 0,25 đ
Câu 3: (2 điểm)
 a/ (1 điểm)
 	0,25 đ
 0,25 đ
 0,25 đ
 0,25 đ
 b/ (1 điểm)
 P=== 0,25 đ
 P== 0,5 đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a=b= 0,25 đ
Câu 4 (2 điểm)
a/ (1 điểm)
 Ta có: ( 0,25 đ
 1= 0,25 đ
 0,25 đ
Vậy S=1+1=2 0,25 đ
b/ (1 điểm)
A=
A= 0,25 đ
 = 0,25 đ
 == 0,25 đ 
 =1 Z 0,25 đ
Câu 5 (1 điểm)
 xy-2x-3y+1=0
xy-3y=2x-1
y(x-3)=2x-1 0,25 đ
Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x3 thì
 y=2+ 0,25 đ
Để y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 0,25 đ
Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3) 0,25 đ
Câu 6 (3 điểm)
(1đ điểm)
Tam giác ADC và tam giác BEC:
( vì hai tam giác CDE và CAB đồng dạng) 
 Góc C: chung 0,75 đ
Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ 
b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: 
 có: 
 Suy ra: 0,5 đ
 Suy ra: 0,25 đ
Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45) 0,25 đ
c)(1 điểm)
Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
Suy ra: , mà 0,5 đ
Do đó: 0,5 đ