Đề thi học sinh khá giỏi Toán Lớp 10 - Năm học 2012-2013 - Trường THPT Lạng Giang số 1

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
Trường THPT Lạng Giang số 1
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2
Năm học: 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 10-Khối A và A1 
Thời gian làm bài: 150 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: , (1) ( là tham số) và điểm 
 1) Tìm TXĐ, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi .
 2)Tìm các giá trị của để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác có trọng tâm G thuộc đường tròn 
Câu II: (1 điểm)Giải phương trình vô tỷ: 
Câu III: (1 điểm)Giải bất phương trình sau:
Câu IV: (1 điểm) Giải hệ phương trình: 
Câu V: (1 điểm) Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. 
Chứng minh rằng : 
Câu VI: (1 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn:.
 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1. hoặc phần 2.
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VIIa: (2 điểm):
 1)Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC. Xác định tọa độ đỉnh C,biết là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB,đường phân giác trong của góc A là: và đường cao kẻ từ B là:.
 2)Cho hình chữ nhật ABCD đường thẳng chứa cạnh AB là: .Đường thẳng chứa đường chéo BD là: và đường chéo AC đi qua điểm .Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật.
Câu VIIIa: (1 điểm) Cho đường tròn và đường thẳng , gọi I là tâm đường tròn .Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được đến hai tiếp tuyến MA,MB(A,B là hai tiếp điểm) và diện tích tứ giác MAIB bằng 
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VIIb: (2 điểm):
 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm và hai đường trung tuyến ,
.Tìm tọa độ hai điểm B,C.
 2) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) và đường tròn (C) tâm I có phương trình .Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có một góc bằng 1200.
Câu VIIIb: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho và Elip.Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc .Biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
 ---------------------- HẾT ---------------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.Số báo danh.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH KHÁ GIỎI LÀN 2
 MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2012– 2013
--------------------------------------------
Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng.
CâuI
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
 (Yêu cầu học sinh làm đầy đủ chi tiết theo các bước,vẽ đồ thị đúng đẹp)
2) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (P) và Ox:
 Lập luận (P) và Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt.Từ đó có điều kiện:
Với điều kiện (*) thì (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,Bgiả sử .
Khi đó tam giác AKB tạo thành có trọng tâm .Hay 
G thuộc đường tròn (T/m(*))
KL 
1đ
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
CâuII
1) Điều kiện: .
Bpt 
 do 2 vế dương )
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
Câu III
Giải bất phương trình sau:
+)Đặt .Ta có bất phương trình:
+)Kết hợp với điều kiện ta nhận:
+)Vậy có BPT:
.KL tập nghiệm bất phương trình
0,25điểm
0,5điểm
0,25điểm
Câu IV
2) Xét phương trình:
+)y=2 có phương trình:.Nghiệm
+)x=1 có phương trình: .Nghiệm 
KL
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
Câu V
Có 
Do là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn nên có một trong các bất đẳng thức sau xảy ra: . Giả sử , khi đó ta có:
. Do đó
.
1điểm
Câu VI
Cho tam giác ABC thỏa mãn:.Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
+)Chứng minh được: 
+)Sử dụng giả thiết có: 
0,5điểm
0,5điểm
Câu VIIa
1)Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC. Xác định tọa độ đỉnh C,biết là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB,đường phân giác trong của góc A là: và đường cao kẻ từ B là:.
+)Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua .Khi đó H thuộc AC
là đường thẳng đi qua H và vuông góc với ,nên có: 
Gọi I là giao điểm và tọa độ I thỏa mãn:
Vì I là trung điểm HH’ nên 
+)Đường thẳng AC đi qua H’và vuông góc nên có phương trình :
AC cắt tại A.Tọa độ A là nghiệm hệ: 
+)Do CH đi qua H và vuông góc với AH ,suy ra phương trình của 
Tọa độ C là nghiệm hệ: 
2)Cho hình chữ nhật ABCD đường thẳng chứa cạnh AB là: .Đường thẳng chứa đường chéo BD là: và đường chéo AC đi qua điểm .Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật.
+)Tìm được tọa độ 
+)Gọi 
Ta có:lần lượt là vectơpháp tuyến của AB,BD,AC.Hơn nữa 
+)Mà .Nên có
+)Với a=-3 không thỏa mãn vì AC song song BD
+)Với a=1.Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc AB nên có phương trình
3x+y+5=0.Tọa độ D là nghiệm hệ
+)Gọi là trung điểm BD do đó I cũng là trung điểm AC
+)KL
0,5điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
Câu VIIIa
Cho đường tròn và đường thẳng , gọi I là tâm đường tròn .Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được đến hai tiếp tuyến MA,MB(A,B là hai tiếp điểm) và diện tích tứ giác MAIB bằng .
+)( C) có tâm I(1;-2) bán kính R=3.
+)Đặt .
+)Sử dụng gt có: 
+)
+)Suy ra M(4;2);M(-3;-5).KL
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,5điểm
Câu VIIb
1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm và hai đường trung tuyến ,.Tìm tọa độ hai điểm B,C.
+), là trung điểm AB nên có 
+) nên suy ra 
+)Tương tự tìm được .
+)KL
2)Đường tròn (C) có tâm I(2 ;-1) và bán kính R=6
Ta có tam giác IAB cân tại I suy ra góc AIB bằng 1200
Gọi H là trung điẻm của AB suy ra IH = IA.cos600 = 3
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M và khoảng cách từ I đến (d) bằng 3
+)Đường thẳng (d) có dạng a(x -1)+ b(y - 2) = 0 (a2+b2>0)
+)Với a = 0 Phương trình đường thẳng (d) là y=2
+)Với 4a =-3b ;Chọn a=3 ;b=-4 Phương trình đường thẳng (d) là 3x-4y+5=0
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
Câu VIIIb
+)Gọi ,do A,B đối xứng nhau qua trục hoành nên .Suy ra .Vì (1)
+)Tam giác ABC đều nên: (2)
Từ (1) và (2) ta có 
+)
+).KLhoặc
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm
0,25iểm