Đề thi học sinh năng khiếu môn: Toán 6

Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Đề thi học sinh năng khiếu - Năm học: 2007 – 2008
Môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Họ và tên thí sinh: ..................................................................................................................................................
Phòng thi: ............................................... Số báo danh : .....................................................................
Phần I: Trắc nghiệm khách quan: (2,5 điểm)
Trong mỗi bài tập sau, em hãy chọn ý trả lời đúng nhất và ghi vào tờ giấy thi
Câu 1: Tổng của : 1 + 2 + 3 +  + 99 + 100 bằng:
A. 5500	B. 5005	C. 5050	D. Cả A, B, C đều sai
Câu 2: Tìm x biết: . 2 = 14
	A. x = 0	B. x = 5	C. x = 3 	D. x = 14
Câu 3: Cho hai góc , phụ nhau và - = 200 . Số đo góc bằng:
A. 350 	B. 550	C. 800	D. 1000
Câu 4: Có một miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 96 cm, chiều rộng 60 cm. Cắt hình chữ nhật thành các mảnh nhỏ là các hình vuông bằng nhau. Độ dài lớn nhất của các cạnh hình vuông nhỏ là:
	A. 10 cm	B. 11 cm	C. 12 cm 	D. 13 cm
Câu 5: Cho = 300 , = 1200 , góc xOy và góc yOz là hai góc kề nhau. Tia Om là tia phân giác của góc xOy, tia On là tia phân giác của góc yOz thì số đo của góc mOn bằng: 
	A. 450	B. 600 	C. 750 	D. 900
Phần II: Tự luận (7,5 điểm)
Câu 1: 
a/ Cho A = với n N*
 Chứng minh rằng : A < 1
b/ Cho M = (- a + b) – (b + c – a) + (c – a) 
	 Trong đó b, c Z ; a là số nguyên âm
	 Chứng minh rằng M luôn dương.
Câu 2: Cho 101 đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
Câu 3 : Cho A = 
Tìm n Z để A có giá trị nguyên
Câu 4: Cho hai phân số có tổng bằng 5 lần tích của chúng. Tính tổng các số nghịch đảo của hai phân số đó.
Câu 5: Cho đoạn thẳng MN, điểm O nằm trên tia đối của tia MN. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng OM, ON.
	a/ Chứng tỏ rằng OM < ON.
	b/ Trong ba điểm O, A , B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
	c/ Tính độ dài đoạn thẳng AB theo MN.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Hướng dẫn chấm - Toán 6
(Đây chỉ là một phương án giải, nếu trong bài thí sinh làm theo cách giải khác mà đúng thì cho điểm tối đa theo các phần tương ứng)
Phần trắc nghiệm khách quan: (2,5 điểm)
Mỗi câu đúng được 0,5 điểm
Câu 1: Đáp án C. 5050
Câu 2: Đáp án C. x = 3
Câu 3: Đáp án B. 550
Câu 4: Đáp án C. 12 cm
Câu 5: Đáp án C. 750
Phần tự luận: (7,5 điểm)
Câu 1: (2 điểm)
a/ (1 điểm) Ta có : A = 
 = 
0,5 điểm
 = = = 
0,25 điểm
 Với n N* thì n + 2 < n + 3, do dó < 1 
 Vậy A < 1 
0,25 điểm
b/ (1 điểm)
Ta có : M = (- a + b) – (b + c – a) + (c – a)
 = - a + b - b - c + a + c - a
 = - a
0,5 điểm
Vì a là số nguyên âm nên - a là số nguyên dương
Vậy M luôn dương
0,5 điểm
Câu 2: (1 điểm) 
Ta có: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm
0,25 điểm
Có 101 đường thẳng trong đó bất cứ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy nên có 101 . 100 (giao điểm)
0,5 điểm
Nhưng vì mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm cần tính là:
 (101 . 100) : 2 = 5050 (giao điểm)
0,25 điểm
Câu 3: (1,5 điểm)
Ta có: A = = = = 3 - 
0,5 điểm
Để A có giá trị nguyên thì n + 4 phải là ước của 17
=> n + 4 có thể bằng : , 
0,5 điểm
* n + 4 = 1 => n = -3
* n + 4 = -1 => n = -5
* n + 4 = 17 => n = 13
* n + 4 = -17 => n = -21
Vậy để A có giá trị nguyên thì n = { -3, -5 , 13 , -21 }
0,5 điểm
Câu 4: (1,5 điểm)
Gọi hai phân số đó là và ( b, d 0)
Theo đề bài ta có: + = 5( . )
 = 5. ad + bc = 5.ac
0,75 điểm
Tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là: 
 Mà ad + bc = 5.ac , do đó: = = 5
Vậy tổng các nghịch đảo của hai phân số đó bằng 5
0,75 điểm
Câu 5: (1,5 điểm)
a/ Vì O nằm trên tia đối của tia MN nên M nằm giữa O và N
 => OM < ON
0,25 điểm
b/ Ta có A là trung điểm của OM => OA = 
 B là trung điểm của ON => OB = 
 Vì OM < ON nên suy ra: < 
 => OA < OB
 => A nằm giữa O và B
0,75 điểm
c/ Vì A nằm giữa O và B nên AB = OB – OA = - 
 = = 
0,5 điểm
Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Đề thi học sinh năng khiếu - Năm học: 2007 – 2008
Môn: Toán 7
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Họ và tên thí sinh: .................................................................................................................................................. 
Phòng thi: ............................................... Số báo danh : .....................................................................
Phần I: Trắc nghiệm khách quan: (2,5 điểm)
 Trong mỗi bài tập sau, em hãy chọn ý trả lời đúng nhất và ghi vào tờ giấy thi
Câu 1: Chữ số tận cùng của 3995 + 7902 + 131003 là :
 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9 
Câu 2: Cho = và x 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai:
A. x2.y > 0 	B. x + y = 0	C. x . y > 0	D. + 1 = 0
Câu 3: Một đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm M(3; 1,5) . Đường thẳng đó là đồ thị của hàm số:
A. y = 3x	B. y = x	C. y = 2x	D. y = 4,5 x
Câu 4: Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn dài gấp 3 lần cạnh góc vuông nhỏ và diện tích bằng 24 cm2 . Khi đó số đo cạnh huyền là:
A. 13 cm	B. 12 cm	C. 2 cm	D. 4 cm
Câu 5: Trên hình vẽ :	(hình bên)	
Tổng số đo các góc : + + bằng bao nhiêu?
A. 600	B. 900 
C. 1200	D. 1800
Phần II: Tự luận (7,5 điểm)
Câu 1: Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
	5x + 5x+2 = 650
Câu 2 : Cho biểu thức:
	B = 
	Chững minh rằng B < 1
Câu 3: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = có giá trị lớn nhất.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 3AB. Trên AC lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EC. Chứng minh rằng: + = 450
Câu 5: Chứng minh rằng: 
	817 - 279 - 913 chia hết cho 405
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Hướng dẫn chấm - Toán 7
(Đây chỉ là một phương án giải, nếu trong bài thí sinh làm theo cách giải khác mà đúng thì cho điểm tối đa theo các phần tương ứng)
i/ Phần trắc nghiệm khách quan: (2,5điểm)
 Mỗi câu đúng được 0,5 điểm
Câu 1: Đáp án A. 1 
Câu 2: Đáp án C. x . y > 0
Câu 3: Đáp án B. y = x
Câu 4: Đáp án D. 4 cm
Câu 5: Đáp án B. 900 
II/ Phần tự luận: (7,5 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm)
Ta có: 5x + 5x+2 = 650
 5x + 5x . 52 = 650
 5x(1 + 25) = 650
0,5 điểm
 26 . 5x = 650
 5x = 25 
0,5 điểm
 5x = 52
 x = 2
0,5 điểm
Câu 2 : (1,0 điểm)
Ta có: B = 
 => 2B = 1 + 
0,5 điểm
 => 2B – B = 1 - hay B = 1 - 
 Do đó B < 1
0,5 điểm
Câu 3 : (1,5 điểm )
Ta có : D = = = 1 + 
0,25 điểm
 D lớn nhất khi lớn nhất 4 – x nhỏ nhất
x 4 , nếu x > 4 thì 4 – x < 0
 Nếu x 0 => > 0 
0,5 điểm
Trường hợp > 0 : ta có tử số bằng 10 không đổi nên có giá trị lớn nhất khi 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất
=> 4 – x = 1 x = 3
0,5 điểm
Với x = 3 thì = 10
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức D bằng 1 + 10 = 11 khi x = 3
0,25 điểm
Câu 4 : (2,5 điểm )
Vẽ hình đúng : 0,5 điểm
Vẽ hình vuông ADKH, ta có:
 HBK = DCK (c.g.c) KB = KC và 
Mà (so le trong)
 = 900
 BKC vuông cân tại K = 450 hay = 450 
1 điểm
Mặt khác: = (do AEB = DCK (c.g.c))
 = 450 . Vậy + = 450 (đpcm)
1 điểm
Câu 5: (1 điểm) 
Ta có: 817 - 279 - 913 = (34)7 - (33)9 - (32)13
 = 328 - 327 - 326 
 = 326(32 – 3 – 1) 
 = 326 . 5
0,5 điểm
 = 322 . 34 . 5
 = 322 . 81 . 5
 = 322 . 405 405
 Vậy 817 - 279 - 913 405
0,5 điểm
Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Đề thi học sinh năng khiếu - Năm học: 2007 – 2008
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Họ và tên thí sinh: .................................................................................................................................................. 
Phòng thi: ............................................... Số báo danh : .....................................................................
Phần I: Trắc nghiệm khách quan: (2,5 điểm)
 Trong mỗi bài tập sau, em hãy chọn ý trả lời đúng nhất và ghi vào tờ giấy thi
Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức: là:
A. x -2 	B. x -1	C. x -1 và x -2 	D. x -1; x 0
Câu 2: Hai biểu thức P = (x – 1)(x + 1) + x2 và Q = 2x(x – 1) có giá trị bằng nhau khi :
A. x = B. x = - C. x = 0 D. x = 1
Câu 3: Mẫu thức chung của hai phân thức và là:
A. 2(1 – x)2	B. x(1 – x)2 	
C. 2x(1 – x)2	D. 2x(1 – x)
Câu 4: Trên hình vuông ABCD, lấy điểm E trên cạnh AB. Biết EB có độ dài 1 cm và EC có độ dài 2 cm như hình vẽ. Khi đó tỉ số diện tích giữa tam giác ECB và hình vuông ABCD là:
A. B. C. D. 
Câu 5: Chọn câu sai trong các câu sau:
Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo
Hình thoi có 4 trục đối xứng.
Hình vuông có 4 trục đối xứng.
Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.
Phần II: Tự luận (7,5 điểm)
Câu 1 : Biết a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
	(a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b 4 + c4)
Câu 2: Giải phương trình:
Câu 3: Cho a = 5 và b = 9
	Chứng minh rằng: ab + 4 là số chính phương
Câu 4: Hai thùng nước có dung tích là 144 lít và 70 lít đang chứa một lượng nước không rõ là bao nhiêu. Nếu đổ nước từ thùng nhỏ sang thùng lớn cho đầy thì trong thùng nhỏ còn 1 lít nước. Nếu đổ nước từ thùng lớn sang thùng nhỏ cho đầy thì trong thùng lớn còn lượng nước ban đầu. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít nước?
Câu 5: Cho tam giác ABC, = 600 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABM và CAN. Gọi D là giao điểm của AB và CM, E là giao điểm của AC và BN.
Tam giác ADE là tam giác gì ? Chứng minh?
	 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng Giáo dục và đào tạo thanh ba
Hướng dẫn chấm - Toán 8
(Đây chỉ là một phương án giải, nếu trong bài thí sinh làm theo cách giải khác mà đúng thì cho điểm tối đa theo các phần tương ứng)
i/ Phần trắc nghiệm khách quan: (2,5 điểm)
Mỗi câu đúng được 0,5 điểm
Câu 1: C. x -1 và x -2
Câu 2: A. x = 
Câu 3: C. 2x(1 – x)2	
Câu 4: B. 
Câu 5: B. Hình thoi có 4 trục đối xứng.
II/ Phần tự luận: (7,5 điểm)
Câu 1 : (1,5 điểm)
Theo giả thiết : a + b + c = 0 nên a = - (b + c)
Bình phương hai vế ta được: a2 = b2 + 2bc + c2 
 a2 – b2 – c 2 = 2bc
0,5 điểm
Tiếp tục bình phương hai vế ta được :
 a4 + b4 + c4 – 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2
 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 
0,5 điểm
Cộng hai vế của đẳng thức này với a4 + b4 + c4 ta được :
 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 
 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 (đpcm)
0,5 điểm
Câu 2 : (1,5 điểm)
Ta có : 
0,5 điểm
0,5 điểm
 (x – 2010)( = 0
 (x – 2010) = 0
 x = 2010
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2010
0,5 điểm
Câu 3 : (1 điểm)
Đặt k = Ta có: a = 10k + 5
 B = 10k + 9
0,5 điểm
 ab + 4 = (10k + 5)( 10k + 9) + 4
 = 100k2 + 90k + 50k + 45 + 4
 = 100k2 + 140k + 49
 = (10k + 7)2 
 = 72 
 Vậy ab + 4 là một số chính phương
0,5 điểm
Câu 4 : ( 1,5 điểm)
Gọi lượng nước có trong thùng lớn lúc đầu là x (lít) (x >0)
Thì lượng nước có trong thùng nhỏ lúc đầu là :
 (144 + 1) – x = 145 – x (lít)
Khi đổ nước từ thùng lớn sang thùng nhỏ cho đầy thì trong thùng lớn còn . x (lít), tức là số nước đã đổ sang thùng nhỏ là x (lít).
Theo đề bài ta có phương trình :
 (145 – x) + x = 70
1 điểm
Giải phương trình tìm được : x = 75 x = 100
0,25 điểm
Vậy lúc đầu thùng lớn chứa 100 (lít) nước.
 Lúc đầu thùng nhỏ chứa : 145 – 100 = 45 (lít)
0,25 điểm
Câu 5 : (2 điểm)
Ta có : = = 600 MB // AC (Cặp góc so le trong bằng nhau)
=> => => 
0,5 điểm
Tương tự : CN //AB => => 
=> => 
0,5 điểm
Mà MB = AB ; CN = AC => = > AD = AE
0,5 điểm
ADE có AD = AE và = 600 nên ADE là tam giác đều (đpcm)
0,5 điểm