Đề thi hsg lớp 9 cấp huyện năm học 2011-2012 môn toán – thời gian làm bài 150 phút
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Đề thi hsg lớp 9 cấp huyện năm học 2011-2012 môn toán – thời gian làm bài 150 phút, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHÒNG GD- ĐT HƯƠNG SƠN TRƯỜNG THCS THỦY MAI ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC. Chứng minh: PQ // IK. Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z . Tính HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1 (3,5đ) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 = 6.A(k) + 7.52k .19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n 0,5 0,75 0,75 1,0 0,5 Bài 2 (2,5đ) 1 Ta có: Vậy: n = 452 – 24 = 2001 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (3,0đ) Nhận xét rằng với mọi x,y ta có: Đặt ta được : Vì Do đó : 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 Bài 4 (3,0đ) Ta có Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. Ta có Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. Ta có Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0,5 1,0 1,0 0,5 Bài 5 (4,0đ) - Vẽ hình đúng - Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được: IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra: - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: PQ // IK 0,5 1,5 1,5 0,5 Bài 6 (4,0đ) A B C ha x Vẽ hình đúng Xét hai tam giác ABC và OBC ta có : SABC = (1) SOBC = (2) Từ (1)và (2) ta suy ra : Tương tự ta có : Từ đó tính được : =1 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Phân tích thành nhân tử: Tính khi biết Câu 2. Cho hàm số: ; với tham số. Xác định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. b. Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Câu 3. Giải phương trình: Cho là hai số dương thỏa mãn: . Chứng minh: Giải phương trình nghiệm nguyên: Câu 4. Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. Tính Chứng minh: Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Hết./. PHÒNG GD & ĐT HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a 0,5 0,5 2,0 b Vậy: 0,5 0,5 2 a ; với tham số Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 0,25 2,0 b Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay 0,5 0,5 c Hoành độ trung điểm I của AB: Tung độ trung điểm I của AB: Ta có: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng 0,5 0,25 3 a Điều kiện: Vậy nghiệm của pt là: 0,2 0,2 0,3 0,3 2,5 b Với là hai số dương ta có: (Theo Bunhiacopski) (Vì ) Hay 0,25 0,25 c 0,25 0,5 0,25 0,25 3,5 4 a Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: = = 1 + 1 = 2 0,75 b Chứng minh: Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5 0,5 c P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) Mà OH.MH(Pitago) Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH OH = 0,25 0,25 0,25 0,25 PHÒNG GD & ĐT Hương Sơn ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút ) Bài 1 : ( 4 điểm ) a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n 10 b , Giải phương trình : x2 + x + 12 = 36 Bài 2 : ( 6 điểm ) a, Giải hệ phương trình : b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = Bài 3 : ( 5 điểm ) a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c . Biết rằng đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = - b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : P = Bài 4 : ( 5 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm Có BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm . a, Tính diện tích tam giác ABC . b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC . Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất . Tính độ dài lớn nhất đó . _____________________HẾT ___________________________ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 4 đ a 2 đ Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ = ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 ) 2 ( 1 ) ( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp ) 0,5 đ Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k thì n5 - n 5 ( 2 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k 1 thì n2 - 1 = (5k 1)2 – 1 = 25k2 10k 5 n5 - n 5 ( 3 ) 0,25 đ + Nếu n = 5k 2 thì n2 + 1 = (5k 2)2 + 1 = 25k2 20k + 5 5 n5 - n 5 ( 4 ) 0,25 đ Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) n5 - n 10 với 0,25 đ b 2 đ Điều kiện : x -1 0,25 đ Đặt t = 0 x = t2 - 1 0,25 đ Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0 0,25 đ t4 – ( t – 6 )2 = 0 0,25 đ ( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0 0,25 đ ( Vì t2 – t + 6 = ( t- )2 + với t 0,25 đ Với t = 2 x = 3 ( thỏa mãn ) 0,25 đ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 0,25 đ 2 a 3đ Điều kiện xy 0 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ Giải ( 1) ta được ; Giải ( 2) ta được 0,5 đ Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 1 ;2 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 1 ; ) , ( ; 1 ) 0,25 đ b 3đ Ta có : ( 1) ( Vì ) 1,0 đ Tương tự : ( 2 ) 0,5 đ ( 3 ) 0,5 đ Cộng hai vế của ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được A 0,5 đ Dấu bằng xảy ra khi 0,25 đ Vậy Giá trị nhỏ nhất của A = khi x = y = z = 1 0,25 đ Bài 3 : a 2đ Từ a + 2b + 4c = - + a + 2b + 4c = 0 0,5 đ Chia cả hai vế cho 4 ta được : P () = 0 1,0 đ Vậy x = là một nghiệm của đa thức 0,5 đ b 3đ Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c 0,25 đ Khi đó : ; 0,5 đ Ta có : 2P = 0,25 đ = 0,5 đ Áp dụng Bất đẳng thức CoSi ta có : 2P = 52 0,5 đ P 26 0,25 đ Dấu “ = ” xảy ra khi 0,75 đ Bài 4 : Vẽ đúng hình : 0,5 đ a , Goị M là trung điểm của BC ta có : MOC = BAC = 600 ( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm ) 0,5đ Do OC = R = 2 nên MC = OC . Sin 600 = 0,5đ BC = 2 IC = 2 0,5đ Vì vậy S= AH . BC = 3 0,5đ b, Ta có : AK = AN ( = AP ) AKN cân tại A 0,25đ Lại có : = 2 . 600 = 1200 0,25đ KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi ) 0,5đ Mà AK = AP 2R KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là đường kính 0,5đ B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN 0,5đ BC là đường trung bình của tam giác PKN KN = 2 BC = 4 0,5đ Lưu ý : - Các cách giải đúng mà khác với đáp án vẫn cho điểm tối đa . Hình vẽ sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình ./. PHÒNG GD_ĐT HS TRƯỜNG THCS THỦY MAI ---------------------- ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) --------------------------------------- Câu 1 : 3,5điểm 1/ Tính : A = 2/ Cho a, b, c thoả mãn: Tính giá trị biểu thức: P = Câu 2: 3,5điểm 1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 2/ Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì ta có Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức : Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD Chứng minh hệ thức: Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB. Câu 5: 2điểm Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin Câu 6: 2điểm Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x2 + 1 = y2 ------------------------------------Hết----------------------------------------- PHÒNG GD_ĐT HƯƠNG SƠN TRƯỜNG THCS THỦY MAI ---------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang) ------------------------------------- Câu Đáp án Điểm Câu 1 3,5điểm 1. (2điểm) Vì > 0; > 0 Þ A > 0 (1) 0,25đ A2 = 0,25đ = = = = = 8 + 2 = (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2. (1,5điểm) Từ gt ta có 0,25đ suy ra 0,25đ Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a c + a = -b P = = = .. = = -1 0,25đ 0,25đ * Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8 0,25đ 0,25đ Câu 2 3,5điểm 1. (1,5điểm) Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2 2xy (1) y2 + z2 2yz (2) z2 + x2 2zx (3) 0,25đ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx ) 0,25đ 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx ) 3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 0,25đ 0,25đ chia hai vế cho 9 ta được hay 0,25đ 0,25đ 2. (2điểm) Từ 0,25đ 0,50đ 0,25đ mà a + b + c = abc 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 3 4,0điểm 1. (2,5điểm) Phương trình (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 * Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : + Phương trình (1) Û Û (2) + Với x > 2, y > 1 Þ (3) Từ (2) và (3) Þ Û Û Û Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 2. (1,5điểm) Hệ phương trình Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có: (m2 + 3)x = 2m + 5. Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có , Theo đề bài ta lại có : (*) Giải phương trình này ta được m = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ Câu 4 5,0điểm 1. (3,0điểm) a. (2,0điểm) a. Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = bc bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC = AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450 = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450 Suy ra bc = ( b + c )AD. = ( b + c ). = = Vậy (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b. (1,0điểm) Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE. bc = ( b – c )AE. = ( b – c ) AE. = Vậy hay 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B C 2. (2,0điểm) Kẻ AM AC, M thuộc tia CI Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2 Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC (2)2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2)2 = 64 – 20 = 44 AC = = 2cm AB = 2cm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 2,0điểm Hình vẽ Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có sinMAB = sin = BM = c.sin sinNAC = sin = CN = b. sin Do đó BM + CN = sin( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a Vì thế sin( b + c ) a ( vì sin < 1) Do b + c nên hay sin (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 6 2,0điểm Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 x2 = vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 do x2 nên (y2 -1)(y+2) , hoặc y do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó. - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó. ----------------------------------HẾT------------------------------------- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Môn : Toán 9 Thời gian: 120’ Câu 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca ( với mọi a, b, c) b. ≥ + + ( Với a>0; b>0; c>0) Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a. b. Câu 3: Cho ΔABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h góc ở đáy bằng α. Chứng minh rằng: SABC= Câu 4: Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định. M là một điểm chuyển động trên cung AB. Qua trung điểm K của đoạn MB kẻ KP AM. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AB thì KP luôn luôn đi qua một điểm cố định. Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ GỢI Ý ĐÁP ÁN Câu 1: a. a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca (1điểm) a2 + b2 +c2 - ab – bc - ca ≥ 0 2a2 + 2b2 +2c2 -2ab –2bc - 2ca ≥ 0 (2a2 -2ab+ b2 )+(b2 -2bc + c2 )+ (a2- 2ca +c2 ) ≥ 0 (a-b)2 + (b-c)2 +(a-c)2 ≥ 0 ( BĐT đúng) Do đó a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca là bất đẳng thức đúng. b. Theo câu a ta có: a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 = (a2b2)2 + (b2c2)2 +(c2a2)2 ≥ (a2b2)2(b2c2) + (b2c2)(c2a2) +(a2b2)2(c2a2) = a2b2c2(a2 + b2 +c2 ) ≥ a2b2c2(ab +bc+ ca) (1.5 điểm) Do đó ≥ Câu 2 (3điểm) a. A = = 1 ( 1.5 điểm) b. (1.5 điểm) = = = = x4+2 – x2 Câu 3: Hình vẽ 0,5 điểm, chứng minh đúng 1,5 điểm ( 2điểm) A E B C H h Kẻ BE AC ΔBEC vuông ở E, ta có: Sinα = sinC = = => BC = Kẻ đường cao AH thì HB = HC = BC = Trong Δ vuông AHC thì AH = HCtgα = tgα = SΔABC = BC.AH= .= Câu 4: hình vẽ (0,5điểm); chứng minh đúng (2điểm) (2,5điểm) M B P A K IK Tia AO cắt (O) tại A1 thì A1 là điểm cố định O MA1// KP ( vì cùng vuông góc với AM) A1 PK cắt A1B tại I thì KI là đường trung bình của ΔMBA1 nên I là trung điểm BA1. Do đó điểm I cố định Vậy M di chuyển trên cung AB thì đường thẳng PK luôn luôn đi qua một điểm cố định là I. §Ò thi chän häc sinh giái . ĐỀ 1.M«n: To¸n 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §¬n vÞ: trêng THCS Thủy Mai C©u 1: a) Rót gän biÓu thøc: M= b) Cho x= Chøng minh x lµ mét sè tù nhiªn C©u 2: a)Cho 3 sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n: a2+b2+c2= 1 Chøng minh r»ng b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C©u 3: a)T×m bé sè (x,y,z) tho¶ m·n: x+y+z=1 x2+y2+z2 =1 x3+y3+z3 =1 b) Tån t¹i hay kh«ng bé sè (a,b,c,d) tho¶ m·n: 20082+a2+b2+c2+d2=2008(a +b +c+d) C©u 4: Cho ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, AB =8cm. D©y AC tuú ý. Gäi OH, OK lÇn lît lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn 2 d©y AC vµ BC. a)NÕu . TÝnh ®é dµi c¸c d©y AC vµ BC b)Trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm D sao cho CD=AC. Träng t©m G cña tam gi¸c ABD di chuyÓn trªn ®êng nµo khi C chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn (O) C©u 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã c¹nh huyÒn BC = 2cm, diÖn tÝch tam gi¸c lµ cm2. TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. §¸p ¸n vµ biÓu ®IÓm ®Ò sè 1 C©u 1:2,5 ®iÓm a) ( 1 ®iÓm) M== cho 0,5® = cho 0,5® b) (1,5®iÓm) x= §Æt a=; b = TÝnh ®îc: a3+b3= ()3 + ()3=364 cho 0,25® a.b = .= -1 cho 0,25® x3 =(a+b)3 =a3+b3+3ab(a+b) x3 = 364 -3 x (x-7) (x2+7x+52)=0 x=7 cho 1® C©u 2: 2 ®iÓm a)( 1 ®iÓm) Ta cã: a2+b2+c2= 1 nªn = =+3 cho 0,5® Ta l¹i cã: a2+b2 2ab nªn . T¬ng tù: VËy: +3+3 Hay cho 0,5® b)(1 ®iÓm) §K: x1; y2; z3 = cho 0,25® Theo bÊt ®¼ng thøc COSI ta cã: cho 0,5® Suy ra: M DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi: x=2; y=4; z=6 VËy: gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M lµ khi x=2; y=4; z=6 cho 0,25® C©u 3: 2,5 ®iÓm a)1,5 ®iÓm Ta cã: (x3+y3+z3)- (x+y+z)=0 x2(x-1)+y2(y-1)+z2(z-1)=0 (* ) cho 0,5® MÆt kh¸c: x2+y2+z2 =1suy ra: -1x;y;z1 suy ra 1-x 0; 1-y 0; 1-z0 cho 0,5® Nªn ph¬ng tr×nh (* ) t¬ng ®¬ng víi hÖ: x2(x-1)=0 x=0 hoÆc x=1 y2(y-1)=0 y=0 hoÆc y=1 z2(z-1)=0 z=0 hoÆc z=1 VËy ta cã 3 bé sè: (0,0,1); (1,0,0); (0,1,0) cho 0,5® b)1®iÓm Do 20082+a2+b2+c2+d2=2008(a +b +c+d) nªn a+b+c+d >0 Ta cã: 20082+a2+b2+c2+d2=2008(a +b +c+d) 4.10042+a2+b2+c2+d2=2.1004.a+2.1004.b+2.1004.c+2.1004.d cho 0,5® Do: 10042+a2 2.1004.; 10042+b22.1004.; 10042+c22.1004; 10042+d22.1004. Nªn 4.10042+a2+b2+c2+d22008(+++)2008 DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi: a2=10042; b2=10042; c2=10042; d2=10042 a;b;c;d cïng dÊu a=b=c=d=1004 a+b+c+d>0 cho 0,5® C©u 4: 2 ®iÓm D a) 1®iÓm . G C . E . O K H H C/m ®îc suy ra: BC= cho 0,25® O O Do tam gi¸c ABC vu«ng, theo ®Þnh lý PITAGO: B A AC2+BC2=AB2 16AC2+9AC2=64.16 cho 0,25® AC=6,4 (cm) cho 0,25® BC= 4,8 (cm) cho 0,25® b) 1 ®iÓm G lµ träng t©m tam gi¸c ABD nªn G thuéc BC vµ cho 0,25® Trªn AB lÊy ®iÓm E sao cho suy ra E lµ ®iÓm cè ®Þnh , BE kh«ng ®æi vµ ta cã: GE//AC GEBC cho 0,25® Gäi I lµ trung ®iÓm cña EB suy ra I cè ®Þnh vµ GI=BE kh«ng ®æi cho 0,25® VËy khi C chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn (O) th× G di chuyÓn trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BE cho 0,25® C©u 5: 1 ®iÓm B Gäi ®é dµi 2 c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c lÇn lît lµ x vµ y Theo bµi ra ta cã: x2+y2=4 vµ x.y= TÝnh ®îc x=1; y= cho 0,5® Dïng tgvµ tÝnh ®îc 2 gãc cña tam gi¸c lµ: 300 vµ 600 cho 0,5® §Ò thi chän häc sinh giái thÞ- ®Ò 2. M«n: To¸n 9 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §¬n vÞ: trêng THCS Thủy Mai C©u 1: a) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A=(12-6) b) D·y sè x1,x2, ..., xn (nN*) ®îc x¸c ®Þnh nh sau: x1=1, x2=; x3=,....,xn= H·y tÝnh x1+x2+ ...+ x2008 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x C©u 3: a) Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=1 Chøng minh r»ng <3,5 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh ++=3 C©u 4: Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB. M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®êng trßn (O) (M kh¸c A,B). Trªn tia AM lÊy ®iÓm C sao cho MC=MA. Tõ A kÎ ®êng th¼ng song song víi MB, c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. Trªn tia AD lÊy ®iÓm E sao cho DE=DA. a) Chøng minh 3 ®iÓm C,B,E th¼ng hµng. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng trßn (O) ®Ó BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). C©u 5: Cho ®êng th¼ng a. A lµ mét ®iÓm cè ®Þnh kh«ng thuéc ®êng th¼ng a. Trªn ®êng th¼ng a cã mét ®iÓm M thay ®æi, N lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn ®o¹n AM sao cho AM.AN=k2 kh«ng ®æi. Chøng minh r»ng ®iÓm N lu«n thuéc mét ®êng cè ®Þnh. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm ®Ò sè 2 C©u 1: 2,5 ®iÓm a) A=(12-6) =(12-6) cho 0,5 ®iÓm = =0 cho 0,5 ®iÓm b) 1,5 ®iÓm Ta cã x1=1; x2==-2- cho 0,25 ®iÓm x3= -2+ cho 0,25 ®iÓm x4= x5=x2 x6=x3 cho 0,25 ®iÓm T¬ng tù, ta cã: x1=x4=x7=...=x2008=1 x2=x5=...=x2006 =-2- Cho 0,5 ®iÓm x3=x6=..=x2007=-2+ VËy, x1+x2+ ...+ x2008 =670.1+669(-2-)+669(-2+)=-2006 cho 0,25 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm §K: 2 cho 0,25 ®iÓm A=xA2=x2(4-x2) =4-(x4-4x2+4) = 4-(x2-2)24-2A cho 0,5 ®iÓm A=-2 khi vµ chØ khi -2= x (tho¶ m·n §K 2) cho 0,5 ® A=2 khi vµ chØ khi 2=x (tho¶ m·n §K 2) cho 0,5 ® VËy GTNN cña biÓu thøc lµ -2 khi x=- cho 0,25 ® GTLN cña biÓu thøc A lµ 2 khi x= C©u 3: 2,5 ®iÓm a) Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki ta cã: ()2 3(a+1+b+1+c+1)=12 cho 0,5 ®iÓm Suy ra <3,5 cho 0,5 ®iÓm 2006 sè 1 b) §K: -1x1 suy ra 1-x0; 1-x20 cho 0,25 ®iÓm Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã: ==1 cho 0,25 ®iÓm 2006 thõa sè 1 2007 sè 1 2007 sè 1 ==1+ cho 0,25 ®iÓm 2007 sè 1 2007 sè 1 = cho 0,25 ®iÓm ++3 DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi 1-x=1+x=1 x=0 (tho¶ m·n ®k -1x1) cho 0,25 ®iÓm VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn lµ x=0 cho 0,25 C M . O B A D E C©u 4: 2 ®iÓm a) 1,5 ®iÓm AB lµ ®êng kÝnh nªn AMB=900, ADB=900 AD//BM nªn DAM=900 VËy AMBD lµ h×nh ch÷ nhËt DBM=900 ABE c©n t¹i B v× cã BD võa lµ ®êng cao, võa lµ dêng trung tuyÕn BD còng lµ ®êng ph©n gi¸c ABE=2.ABD T¬ng tù: ABC=2.ABM EBC=2.ABD +2.ABM =1800 VËy, 3 ®iÓm C,B,E th¼ng hµng b) 0,5 ®iÓm N A BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) khi BCAB ABM=450 M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB C©u 5: 1 ®iÓm K H¹ AH a, suy ra AH ®Þnh VÏ NKAM ANK ®ång d¹ng víi AHM vµ K thuéc ®o¹n AH AN.AM=AH.AKAH.AK =k2 kh«ng ®æi H M Mµ ®é dµi AH kh«ng ®æi nªn ®é dµi AK kh«ng ®æi Mµ A cè ®Þnh, K thuéc ®o¹n AH cè ®Þnh nªn AK cè ®Þnh Do ANK=900, AK cè ®Þnh nªn N thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AK cè ®Þnh §Ò sè 3: C©u 1: a) Cho biÓu thøc Q= Rót gän Q khi y=4(x-1) víi x2 b) Cho 3 sè a,b,c tho¶ m·n a2008+b2008+c2008=1vµ a2009+b2009+c2009=1 H·y tÝnh tæng a2007+b2008+c2009 C©u 2: a) T×m c¸c sè nguyªn kh«ng ©m x,y tho¶ m·n x2=y2+ b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh C©u 3: a) Cho 3 sè a,b,c tho¶ m·n a+b+c =1 vµ a2+b2+c2 Chøng minh 0a,b,c b) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n a2+b2+c2=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= C©u 4: a) §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u 1: 3 ®iÓm a) 1,5® Khi y=4(x-1) th× Q= = (v× x2) b) 1,5® Do a2008+b2008+c2008=1vµ a2009+b2009+c2009=1 nªn a,b,c1 a2009+b2009+c2009-a2008+b2008+c2008=0 a2008(1-a)+b2008(1-b)+c2008(1-c)=0 a=0 hoÆc a=1; b=0 hoÆc b=1; c=0 hoÆc c=1 NÕu a=0 th× b=0, c=1hoÆc b=1, c=0 ................. VËy, a2007+b2008+c2009=1 C©u 2: a) Do x2=y2+ nªn x1 TH1: y=0 th× x=1 TH2: y1 x2=y2+x2-y2=(x-y)(x+y)=x-y>0 (*) hay x>y suy ra x2 MÆt kh¸c (x+y)(x-y)x-y<1 (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra pt kh«ng cã nghiÖm nguyªn nµo tho¶ m·n y1 VËy ph¬ng tr×nh chØ cã mét nghiÖm nguyªn (x=1,y=0) b) Do x3y=9 nªn x,y cïng dÊu Do 3x+y=6 nªn x,y cïng d¬ng Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi: 3x+y=x+x+x+y4 v« lý VËy hÖ ph¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm C©u 3: a) c1) Do a2+b2+c2 nªn a,b,c a+b+c =11-a=b+c(1-a)2=(b+c)2 2(b+c)2 MÆt kh¸c b2+c2-a2 2(b2+c2)1-2a2 Suy ra (1-a)2 1-2a2 3a2-2a 0a(3a-2) 0a(a-)0 nªn a vµ a- tr¸i dÊu mµ a>a- nªn a0, a-0 hay 0a suy ra 0a T¬ng tù: 0a,b,c b) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n a2+b2+c2=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = §Ò sè 4 C©u 1: CMR a) a2+b2+c2ab+bc+ca víi mäi a,b,c b) x4+y4+z4xyz(x+y+z) víi mäi x,y,z C©u 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®Ó t×m nghiÖm nguyªn a) y2=1+ b) x2+xy-3x-y-19=0 C©u 3: a) Cho x Chøng minh r»ng x2+y2=1 b) Cho h/s f(x) = (x3+6x-5)2007 TÝnh f(a), biÕt a= C©u 4: Cho gãc nhän xOy, ®iÓm A n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc. Mét ®êng th¼ng thay ®æi qua A, c¾t Ox vµ Oy t¹i E vµ F. CMR kh«ng ®æi C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, kÎ ®êng cao BE,CF a) Cho biÕt sè ®o gãc BAC b»ng 600. TÝnh ®é dµi EF theo BC=a b) Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC kh«ng chøa EF lÊy mét ®iÓm M bÊt kú. Gäi H, I, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn BC,CE,EB. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng S= §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u 1: 2 ®iÓm a) Ta cã a2+b22ab ; b2+c22bc ; c2+a2ca suy ra 2(a2+b2+c2)2ab +2bc+2ca a2+b2+c2ab +bc+ca b) Ta cã x4+y4+z4x2y2+y2z2+z2x2xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz(y+z+x) C©u 2: 2 ®iÓm a) Do 9-x2-4x=13-(x-2)20 nªn (x-2)2 lµ sè chÝnh ph¬ng nhá h¬n 13 NÕu (x-2)2=0 th× y2=1+ Z NÕu (x-2)2=1 th× y2=1+ Z NÕu (x-2)2=4x=4 hoÆc x=0 th× y2=1+ =4 y=2 hoÆc y=-2 NÕu (x-2)2=9 th× y2=1+ =3 nªn yZ VËy ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn sau: (4;2) ; (4;-2) ; (0;2);(0;-2) b) x2+xy-3x-y-19=0(x+y-2)(x-1) =21 nªn x-1 vµ x+y-2 lµ c¸c íc nguyªn cña 21 Ta cã b¶ng x-1 1 -1 3 -3 7 -7 21 -21 x 2 0 4 -2 8 -6 22 -20 x+y-2 21 -21 7 -7 3 -3 1 -1 y 21 -19 5 -3 -3 5 -19 21 VËy pt cã c¸c nghiÖm nguyªn sau: (2;21);(0;-19); ..... C©u 3: 3 ®iÓm a) Theo Bunhiacopxki: x=1 DÊu '=" xÈy ra khi vµ chØ khi x2y2 =1-x2-y2+x2y2 x2+y2=1 b) f(a)=(a3+6a-5)2007 a3= ()3=3++3-+3() x =6+3.(-2).a=6-6a f(a)=(6-6a+6a-5)2007=12007=1 A O y E F N M C©u 4: 1 ®iÓm Tõ A kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi Oy, Ox lÇn lît c¾t Ox, Oy t¹i M vµ N Ta cã OMAN lµ h×nh thoi (h×nh b×nh hµnh cã ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c) AM=AN vµ AM cè ®Þnh AM//Oy AN//Ox ==1 = kh«ng ®æi C©u 5: C E F K H I M A a) AEB ®ång d¹ng víi AFC (g.g) AEF ®ång d¹ng víi ABC (c.g.c) ==cos600 EF=BC.cos600=a. b) BMIE lµ h×nh ch÷ nhËt IE=MK; MI=EK Ta cã Do BMC vu«ng, ®êng cao MH nªn B =2 DÊu "=" xÈy ra khi BH=MH = Do CIM ®ång d¹ng víi BKM nªn =+=2 DÊu "=" xÈy ra khi IE=MI §Ò sè 5 C©u 1: T×m nghiÖm nguyªn cña pt y2-5= C©u 2: Cho biÓu thøc P= x2 -3x+2y TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x=; y= C©u 3: Cho a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . CMR P=++ C©u 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. O lµ trung ®iÓm cña BC. VÏ ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB, AC lÇn lît t¹i H,K. Mét tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn
File đính kèm:
de thi HSG Toan 9.doc
