Đề thi khảo sát học sinh giỏi năm học 2013-2014 Môn: Toán Lớp 8 Trường Thcs Trực Tĩnh

PHßng GD & §T Trùc ninh
 tr­êng THCS trùc tÜnh 
®Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái n¨m häc 2013-2014
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút
I.Trắc nghiệm (2điÓm): Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng vµ viÕt vµo bµi lµm 
Câu 1: Rút gọn biểu thức ta được kết quả là:
A) 2
B) 
C) 1
D) - 2
Câu 2: Cho x; y là hai số khác nhau sao cho ; Giá trị của biểu thức là:
A) 4
B) - 4
C) 0 
D) - 2
Câu 3. Tổng các hệ số của tất cả các hạng tử trong khai triển của nhị thức ( 5x-2)6 bằng
A) -64
B) 64
C) 216
D) 729
Câu 4: Tứ giác ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo. Biết AB = 5 cm; 
IA = 3 cm; IB = 4 cm; ID = 6 cm; Ta có AD bằng:
A) 15 cm
B) cm
C) 45cm
D) 9cm
II. Tự luận:
Bài 1 ( 3 điểm). 
a) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z
b)Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Bài 2: ( 3 điểm)
Cho biểu thức : 
Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
Tìm giá trị của x để A > 0?
Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Bµi 3 ( 3®iÓm)
a) Giải phương trình: 
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: 
 x( x + x + 1) = 4y( y + 1).
Bµi 4 ( 8 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD, ®é dµi c¸c c¹nh b»ng a. Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn c¹nh DC (MD, MC) chän ®iÓm N trªn c¹nh BC sao cho MAN = 45o, DB thø tù c¾t AM, AN t¹i E vµ F.
1. Chøng minh: ° ABF # °AMC
2.Chøng minh AFM = AEN = 90o
3. Chøng minh SAEF = SAMN
4. Chøng minh chu vi tam gi¸c CMN kh«ng ®æi khi M chuyÓn ®éng trªn DC
5. Gäi H lµ giao ®iÓm cña MF vµ NE . Chøng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2
Bµi 5 ( 2 ®iÓm)
a) Chöùng minh raèng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
b) Cho a; b; clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng 
................................................HÕt .................................................
§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
I.Trắc nghiệm (2điÓm) Tr¶ lêi ®óng mçi ý cho 0,5 ®
C©u
1
2
3
4
§¸p ¸n
D
A
D
B
II. Tự luận: (18 ®iÓm)
Đáp án
Điểm
Bài 1 (3 điểm)
a)Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
	= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).
VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.
0.5
0,5
0,25
0,25
Đặt Khi đó 
0.5
0.5
0.5
Bài 2: ( 3 điểm)
a) ( 1,5 điểm)
Vậy với thì .
0,25
0,5
0,5
0,25
b) (0,75 điểm)
 Với 
 ( Vì 4x2 > 0 mọi x # 0)
Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,75
c) ( 0,75 điểm)
Với x = 11 thì A = 
0,75
Bài 3( 3 ®iÓm)
a) ( 1,5 điểm)
 Û
Û
ÛÛ
Û
Û (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
Û (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
Û 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 
 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
Û 8x2 + 40x = 0
Û 8x(x + 5) = 0
 x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm 
b) ( 1,5 điểm)
+ Ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x+ 1) nguyªn tè cïng nhau !
V× nÕu d = UCLN (x+1, x+ 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)
 2 mµ d lÎ nªn d = 1.
+ Nªn muèn (x + 1)(x+ 1) lµ sè chÝnh ph­¬ng 
 Th× (x+1) vµ (x+ 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng
 §Æt: (k + x)(k – x) = 1 hoÆc 
+ Víi x = 0 th× (2y + 1)= 1 y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt)
 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: (x;y) 
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4 ( 8 điểm)
 1. Chøng minh: ° ABF # °AMC ( 1,25 điểm)
-Ta cm: ABF =ACM = 450
-BAF =MAC ( v× cïng céng víi gãc CAN b»ng 450 )
 suy ra : ° ABF # °AMC
0,75
0,25
0,25
 2. Chøng minh AFM = AEN = 90o ( 1,5 điểm)
TõD AFB # D AMC (g.g) 
=> 
Cã MAF =BAC = 45 0(2) 
Tõ 1 vµ 2 => D AFM # D ABC 
=> AFM = ABC = 90o
C/M hoµn toµn t­¬ng tù cã AEN = 900 
v× vËy AFM = AEN = 90o
0,75
0,5
0,25
 3. S D AEF = 1/2 S D AMN (2 điểm)
Cã D AFM # D AEN => 
=> D AEF # D AMN (c.g.c) => 
Cã FAM = 450, AFM = 900 
=> D AFM Vu«ng c©n ®Ønh F nªn AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 
 => = 
Thay vµo (1) ta ®­îc = hay: S D AEF = 1/2 S D AMN
0,25
0,5
0,5
0,25
 4.. C/M chu vi D CMN kh«ng ®æi ( 1,25 điểm)
 Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm K sao cho DK = BN 
 D ADK = D ABN => AK = AN vµ BAN = DAK. 
 do ®ã D AMN = D AKM (c.gc) => MN=KM 
V× vËy: Chu vi D CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN 
 = CD + KD + CN = CD + NB + CN 
 = CD + CB = 2a kh«ng ®æi 
Tøc lµ: Chu vi D CMN kh«ng thay ®æi khi M chuyÓn ®éng trªn c¹nh DC
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5. Chøng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2	(2 điểm)
 KÎ HI ^ MN t¹i I 
- Cm: ° MHI # ° MNF => MH.MF =MI.MN
- Cm: °NHI # °NME => NH.NE =NI.NM
- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN2
- ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago vµo °CMN ta cã: MN2 = MC2 +CN2
 VËy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Bµi 5: ( 2 điểm)
a) ( 1,0 điểm)
 Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1
 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – 1 vaø x3n – 1 chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1
Vaäy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia heát cho x2 + x + 1 vôùi moïi m, n N
b) ( 1,0 điểm)
§Æt x= b + c ; y= c + a ; z = a + b 
 ta cã a = ; b = ; c =
ta cã (1) 
 ( lµ B®t ®óng?
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25