Đề thi olimpic khối 6 năm học 2013 - 2014 môn: toán thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI OLIMPIC KHỐI 6 
 NĂM HỌC 2013 - 2014
	 MÔN: TOÁN
	 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1( 4 điểm)
Cho A = 5 - 52 + 53 - 54 + - 598 + 599 . Tính tổng A.
Chứng tỏ ( + 1).( + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
Bài 2 ( 5 điểm)
 a) Tìm các số nguyên x, y biết rằng : (x - 2)2.(y - 3) = - 4
 b) Tìm n ∈ Z để (4n - 3) (3n – 2) 
Bài 3 ( 2 điểm)
Chứng minh 
Bài 4 ( 4 điểm)
Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng kí tham gia bằng số nam. Nhưng sau đó có một bạn nữ xin nghỉ, một bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng số nam. Tính số học sinh nữ và nam đã đi tham quan.
Bài 5: (5 điểm) 
 Cho 4 tia chung gốc theo thứ tự Ox, Oy, Oz, Ot sao cho ; , biết số đo góc zOt bằng 600. 
Tính số đo các góc xOy; yOz; tOx?
Vẽ tia Om sao cho số đo góc mOt bằng 200 . Tính số đo góc zOm?
Vẽ thêm 10 tia phân biệt chung gốc với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om. Hỏi có bao nhiêu góc tạo thành từ tất cả các tia trên?
-----------------------Hết-----------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN 6
NĂM HỌC 2013 - 2014
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4điểm)
Câu a( 2 điểm)
 A = 5 – 52 + 53 – 54 + - 598 + 599
 5A = 52 – 53 + 54 - + 598 – 599 + 5100
Tính và rút gọn được 6A = 5 + 5100
Câu b ( 2 điểm)
 Ta có: . ( +1).( + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. 
Mà không chia hết cho 3
 nên ( + 1).( + 2) 3 " nÎ N
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5đ
0,25đ
Bài 2
(5điểm)
Câu a( 3 điểm)
 Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có các trường hợp sau:
TH1: ( x - 2)2 = 12 và y - 3 = -4
 x - 2 = 1 ; y = -1 hoặc x - 2 = -1; y = -1
 x = 3; y = -1 hoặc x = 1; y = -1
TH2: ( x - 2)2 = 22 và y - 3 = -1
 x - 2 = 2 ; y = 2 hoặc x - 2 = -2; y = 2
 x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = 2
KL: Vậy ta có các cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là:
(3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2)
Câu b( 2 điểm) 
 Ta có: 4n – 3 + 3n – 2
 Mà 3n + 2 + 3n + 2
 → 3(4n – 3) – 4(3n – 2) + 3n – 2
 → ( 12n - 9 - 12n + 8 ) + 3n – 2
→ - 1 + 3n – 2
→ 3n – 2 Ư(-1) 
+) 3n – 2 = 1 suy ra n = 1
+) 3n – 2 = -1 suy ra n = 1/3 
Kết hợp điều kiện n nguyên ta được n = 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3
(2điểm)
Giữ nguyên 
Ta có: 
 Chứng minh A’ = 
Do đó 
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
Bài 4
(4điểm)
Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham quan là như nhau, ta lấy làm đơn vị.
Số nữ dự định đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số nam và nữ.
Số nữ đi tham quan bằng số nam nên bằng tổng số nam và nữ.
Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là: ( tổng số học sinh) hay tổng số học sinh tương ứng với 1 học sinh.
Tổng số học sinh là: 1 : = 30 ( học sinh)
Số học sinh nữ đã đi tham quan là: 30 . = 5 (học sinh)
Số học sinh nam đã đi tham quan là: 30 – 5 = 25 ( học sinh)
Vậy có 5 học sinh nữ và 25 học sinh nam đi tham quan.
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(5điểm)
Vẽ hình đúng câu a, b được 0,5 điểm ( hs không vẽ được hình không tính điểm bài làm)
x
O
y
z
t
 Câu a ( 1 điểm)
Vì 
Mà nên 
Tính được 
Câu b ( 2,5 điểm)
 Ta có 2 trường hợp:
TH1: Tia Om nằm giữa tia Oz và tia Ot
x
O
y
z
t
m
Tính được 
TH2: Tia Ot nằm giữa 2 tia Om và Oz
x
O
y
z
t
m
Tính được 
Câu c ( 1 điểm)
 Từ hai tia chung gốc ta vẽ được 1 góc.
Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, Om. Tất cả trong hình vẽ có 15 tia phân biệt . 
Cứ 1 tia trong 15 tia đó tạo với 14 tia còn lại thành 14 góc .
 Có 15 tia nên tạo thành 15.14 ( góc) 
 nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần . 
nên có tất cả số góc tạo thành từ 15 tia phân biệt chung gốc là : góc 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,25 đ
1,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Lưu ý: HS có cách giải khác mà đúng vẫn được điểm tối đa.