Đề thi Ôlimpic Môn: Toán 8 (Thời gian120 phút)

PHềNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH VĂN
Đề thi ễlimpic
Mụn: Toỏn 8 (Thời gian120 phỳt)
Cõu I. Giải phương trỡnh 
1x-2 - 1x2 - 4 = 45
2x(8x -1)2(4x -1) = 9
Cõu II. Giải bất phương trỡnh
	|x2 – 1| > x + 1.
Cõu III.
Tỡm số dư trong phộp chia đa thức (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2014 cho đa thức x2 +10x +21.
Tỡ m đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho (x – 3) thỡ dư 7, f(x) chia cho 
(x – 2) thỡ dư 5, f(x) chia cho (x2 - 5x + 6) thỡ được thương là 3x và cũn dư.
Cõu IV. Tỡm GTNN của biểu thức:
 M = x2 + x+1x2+ 2x+1 (x ≠ -1)
Cõu V. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (H €BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn thẳng BE theo m = AB.
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo của gúc AHM/
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh : GBBC=HDAH+HC
HẾT
Ban giỏm hiệu duyệt
Người ra đề: Trương Thị Quyờn
Cõu
í
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN 8
Điểm
Cõu 1
1
ĐKXĐ x≠2, x≠2
QĐKM và rỳt gọn được 4x2 – 5x - 21 = 0 
0,5
ú (x -3)(4x + 7) = 0
0,5
ú x = 3, x = - 47
KL
0,5
2
2x(8x – 1)2(4x – 1) = 0 ú 8x(8x -1)2(8x – 2) = 72
0,5
Đặt 8x -1 = t. 
Ta cú phương trỡnh: t2( t2-1) – 72 = 0 
ú (t2 – 9)(t2+ 8) = 0
0,5
ú t2 – 9 = 0 (vỡ t2+8 >0 với mọi t)
út =3 hoặc t=-3
+)Với t =3 => x = 12
+) Với t = -3 => x = - 14
KL.
0,5
Cõu 2
|x2-1| > x + 1 ú x2 – 1> x + 1 hoặc x2 – 1 < -(x + 1)
0,5
x2 – 1> x + 1 ú x2 – x – 2 > 0 ú (x + 1)(x – 2) > 0 ú x > 2 hoặc x < -1 (1)
1
x2 – 1 < -(x + 1) ú x2 + x < 0 ú -1 < x < 0 (2)
1
Kết hợp (1), (2) ta được x > 2 hoặc x < 0 và x ≠ -1
0,5
Cõu 3
1
f(x) = (x – 3).A(x) + 7 (1)
f(x) = (x – 2).B(x) + 5 (2)
0,5
f(x) = (x – 2)(x – 3).3x + ax + b (3)
0,5
Với x = 3 từ (1), (3) suy ra 3a + b = 7
Với x = 2 từ (2), (3) suy ra 2a + b = 5
Từ đú a = 2, b = 1
0,5
Vậy đa thức f(x) phải tỡm là: 3x3 – 15x2 + 20x + 1
0,5
2
Đặt A = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2029
=(x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 24) + 2029
1
Đặt x2 + 10x + 21 = t
Suy ra A = (t - 5)(t + 3) + 2029 = t2 – 2t – 15 + 2029 = t2 - 2t + 2014
1,5
Vậy dư của phộp chia A cho x2 + 10x + 21 là 2014
0,5
Cõu 4
M = x2+ x+1x2+ 2x+1 = (x+1)2- x+1+ 1(x+1)2 = 1(x+1)2 - 1x+1 + 1
 Điều kiện x ≠ -1
1
=( 1x+1 - 12)2 + 34 ≥ 34
Dấu bằng xảy ra khi 1x+1 = 12 ú x = 1
0,5
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 34 khi x = 1
0,5
Cõu 5
1
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: BEC = ADC = 135O (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên AEB = 45O do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1
1
Ta có: (do tg BEC đồng dạng với tg ADC)
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
 (do tg ABH đồng dạng với tg CBA)
Do đó (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 135O => AHM = 45O
2
1
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: = AHHC = HDHC
1
Do đó: 
1