Đề thi olympic cấp h uyện năm học 2013 – 2014 Môn Thi: Toán 8

 PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
ĐỀ CHÍNH THỨC


ĐỀ THI OLYMPIC CẤP H UYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
 b) Tìm x để 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2 ( 6 điểm) 
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 22, f(x) chia cho được thương là và còn dư
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì chia hết cho 6.
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Câu 3 (3,0 điểm)
 a) Cho và , tính giá trị của biểu thức:
	 
Cho 2 số a và b thỏa mãn a1; b1. Chứng minh : 
 
Câu 4 : (6,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC 
(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
------------------HẾT-----------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )




HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC
Môn thi: Toán 8
Năm học: 2013 – 2014
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 
Ý 
Đáp án
Điểm
Câu 1( 5 điểm)




 1( 4 điểm)




a
2
đ
 ĐKXĐ : 
Không có đk x-1 trừ 0,25đ
0,5đ



0,5đ



0,5đ




0,5đ




b
2
đ
 với ĐKXĐ
0,25đ



0,25đ



0,25đ



0,25đ



0,25đ


 ( TM ĐKXĐ)
Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ)
(Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
0,5đ


Vậy 

0,25đ




c
1
đ

0,25đ



0,25đ


Vì x > 1 nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 và ta có: 
0,25đ


Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 
( x – 1)2 = 1 
 x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )
x = 2 ( TM )
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
0,25đ
Câu 2( 6 điểm)







 
a
2
đ
Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 	
0.5đ


Theo đề bài, ta có:

0.5đ


Do đó: 
0.5đ


Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 

0.5đ



b
2
đ
a3 + 5 a = a3 – a + 6a
0,5đ


= a(a2 – 1) + 6a 
0,25đ


= (a-1)a(a+1)+ 6a 
0,25đ


* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2 suy ra chia hết cho 2
0,25đ


* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3 suy ra chia hết cho 3
0,25đ


Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6
0,25đ


* 6a chia hết cho 6
Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6
0,25đ




c
2đ


0,5đ




1,0đ






0,25đ




0,25đ


 Câu 3(3,0 điểm)








CC




a




 
0,5đ


 
0,5đ


 
0,5đ





b
=	 
0,25đ


=
0,25đ


= = 
0,25đ



= 	
0,5đ


Do a1; b1 nên 	 
0,25
Câu 4( 6 điểm)









Hình vẽ












0,5đ



a
3
đ
Xét ∆OEB và ∆OMC
0,25đ


Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 
0,5đ


 Và 
0,5đ


 BE = CM ( gt )
0,25đ


Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
0,25đ


 OE = OM và 
0,5đ


Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
0,25đ


 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
0,5đ



b
2đ


Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
0,5đ


+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
0,5đ



Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)

0,5đ



Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
0,5đ






c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp góc so le trong)
Mà vì ∆OEM vuông cân tại O

∆OMC ∆BMH’ (g.g)



0,25đ



 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
0,25đ


∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
0,25đ


Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)

0,25đ
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa