Đề thi olympic Đồng bằng sông Cửu Long môn: Toán – khối 12

ÑEÀ THI OLYMPIC ÑBSCL
Moân: TOAÙN – Khoái 12
Baøi 1: 
 Cho soá nguyeân n > 1 vaø soá thöïc p > 0 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: 	 
 khi chaïy khaép moïi giaù trò thöïc khoâng aâm sao cho .
Baøi 2: 
	Trong maët phaúng toïa ñoä vuoâng goùc oxy cho n veùctô :
 	 , thoûa 
 	 	Chöùng minh raèng coù theå choïn ra k veùctô coù tính chaát :
 	 .
Baøi 3:	
Daõy soá , (n =1, 2, 3,....) ñöôïc xaùc ñònh bôûi , vôùi n=1, 2, 3, ....
	Chöùng minh raèng daõy soá naøy coù giôùi haïn vaø tìm giôùi haïn ñoù.
Baøi 4:
Giaûi phöông trình sau : 
Baøi 5:
Cho tam giaùc ABC, O laø ñieåm tuøy yù trong tam giaùc. Ñaët : OA = x; OB = y;
OC = z. Goïi u, v, w töông öùng laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong caùc goùc Ð BOC, 
 Ð COA, Ð AOB cuûøa caùc tam giaùc BOC, COA, AOB. 
Chöùng minh raèng : .
ÑAÙP AÙN
Baøi 1: 
Ñaët : S = x1x2 + x2x3 +  + xn-1xn ; p = x1 + x2 +  + xn .
Giaû söû : xk = Max { x1, x2 ,  , xn} 
Þ S = = + £ + £ xk(p – xk) £ ,(Coâsi).
Vaäy : Max S = khi xk = xk+1 = p/2 vaø xi = 0, i = 1,n, i ¹ k vaø i ¹ k + 1.
Baøi 2: 
Goïi (xi,yi) laø toïa ñoä veùctô , i = 1,,n. 
Ta coù: , (1). Daáu ‘’=’’ xaõy ra khi xi = 0 hay yi = 0.
Töø gthieát ta coù: 
Û . 
Theo nguyeân lyù Ñirichleâ seõ toàn taïi .
Goïi laàn löôït laø caùc veùctô coù hoaønh ñoä xi1, xi2, , xik > 0.
 Ta coù:
.
Baøi 3: 
Ta vieát : =
 Maët khaùc, ta coù nhaän xeùt : vôùi thì , (1)
	 Thaät vaäy: 
 	+ Xeùt Þ , suy ra f(x) 
	 nghòch bieán treân , (2)
 	+ Xeùt Þ , suy ra g(x) 
	 nghòch bieán treân , (3)
	 Töø (2) vaø (3) suy ra (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh
	 Aùp duïng (1) vôùi , ( k = 1, 2, 3, ...) , ta ñöôïc : 
	 Töông töï: 
 ..............................................
 Þ .
	Maët khaùc neân . 
	Suy ra . 	
	Vaäy : , (n=1, 2, 3, ...)
Baøi 4: 
Phöông trình 
Nhaän thaáy phöông trình (*) khoâng nhaän hay laøm nghieäm 
Do doù neân 
Ñaët 
So ñieàu kieän : , suy ra 
Vì neân suy ra .
 	Neáu thì 
 Töông töï : neáu thì 
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 
Baøi 5: 
Ñaàu tieân , ta chöùng minh boå ñeà sau: 
“ Neáu thì , ta luoân coù: ”.
Thaät vaäy : 
 + 
 + 
.
, (ñpcm).
Trôû laïi baøi toaùn ñaàu baøi : 
Ñaët : Ð AOB = 2a ; Ð AOC = 2b ; Ð BOC = 2g Þ a + b + g = p
Theo coâng thöùc tính ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc , ta coù : 
AÙp duïng boå ñeà vôùi ta coù : 
 Hay , (ñpcm)
 ( theo baát ñaúng thöùc Cauchy )