Đề thi olympic hà nội - Amsterdam môn Toán chuyên lớp 11

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 Trường THPT chuyờn Hà Nội – Amsterdam 
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 
MễN TOÁN CHUYấN LỚP 11 
Ngày thi : 25/03/2011 
Thời gian : 180 phỳt 
Bài 1 (4 điểm). Cho n là số nguyờn dương thỏa món đẳng thức: 
3
2110 70 20
2
n
nn
n
n.C
C .
n
-
--- - = -
-
Giải phương trỡnh 
( ) ( ) ( )1 2 31 2 2 3 3 21 1 2 1 3 1n n n n nn n n nC x x C x x C x x .. nC x n .
- - -- + - + - + + = 
Bài 2 (4 điểm). Cho dóy số 0
2
1
3
2 n n
x
x x , n+
=ỡù
ớ
= - ẻùợ Ơ
. Tỡm giới hạn 2 0 1 2n nlim x x x ...x . 
Bài 3 (4 điểm). Cho hai dóy số nguyờn dương { } { }n nx , y thoả món cỏc điều kiện 
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
1
; , với *n n n n n n
x , y ,x , y
x x x y y y n+ + + +
>ỡù
ớ
= + = + ẻùợ Ơ
Chứng minh rằng với giỏ trị n đủ lớn thỡ n nx y> . 
Bài 4 (4 điểm). Cho tam giỏc ABC nhọn và đường cao AH, ( H BCẻ ). Điểm P di 
chuyển trờn đoạn AH. Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn AB và AC. 
a. Chứng minh rằng B, E, F, C nằm trờn đường trũn tõm O’. 
b. Chứng minh rằng đường thẳng PO’ luụn luụn đi qua một điểm cố định khi P di 
chuyển trờn đoạn AH. 
Bài 5 (4 điểm). Cú hai cọc tiền xu, một cọc cú n đồng tiền và một cọc cú k đồng tiền ( 
với n, k là cỏc số nguyờn dương). Một Rụbụt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc 
kia theo quy luật sau: Nếu một cọc cú số tiền chẵn thỡ chuyển một nửa số tiền từ cọc đú 
sang cọc kia (nửa số tiền cũn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều cú số tiền chẵn thỡ 
Rụbốt chọn ngẫu nhiờn một cọc và cũng chuyển như trờn. Quỏ trỡnh trờn kết thỳc nếu số 
đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tỡm điều kiện cần và đủ của n và k để Rụbốt sẽ ngừng 
làm việc sau hữu hạn lần chuyển như vậy. 
--------Hết ---------