Đề thi olympic hà nội - Amsterdam môn Toán lớp 10

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 Trường THPT chuyờn Hà Nội – Amsterdam 
KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 
MễN TOÁN LỚP 10 
Ngày thi : 25/03/2011 
Thời gian : 150 phỳt 
Bài 1 (4 điểm). Cho phương trỡnh 22 1 1x mx x+ - = - (1), với m là tham số. 
a. Giải phương trỡnh (1) khi m = 2. 
b. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất. 
Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trỡnh ba ẩn số là x, y, z : 
2011
2
2011
2
2011
2
x y
y
y z .
z
z x
x
ỡ = +ù
ù
ù = +ớ
ù
ù = +ù
ợ
Bài 3 (4 điểm). Cho 2 số x, y thỏa món hệ phương trỡnh 1
3 3
mx y m
x my m
- = -ỡ
ớ + = -ợ
 với m là 
tham số. Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 2 10 .A x y x= + + 
Bài 4 (4 điểm). Cho tam giỏc ABC nhọn và khụng cõn, nội tiếp đường trũn tõm O. 
Một đường thẳng thay đổi, song song với BC và cắt hai cạnh AB, AC của tam giỏc. 
Đường thẳng này cắt cỏc cung AB và AC tại cỏc điểm M và N. Cỏc điểm I và J lần 
lượt là tõm cỏc đường trũn nội tiếp cỏc tam giỏc ABM và CAN. Điểm P là điểm chớnh 
giữa cung BC (cú chứa điểm A). Chứng minh rằng luụn cú .PI PJ= 
Bài 5 (4 điểm). Xột cỏc tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả món 
0
a b
f ( x ) , x
<ỡ
ớ ³ " ẻợ Ă
. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức a b cM
b a
+ +
=
-
. 
------------------HẾT------------------- 
ĐÁP ÁN 
Bài 1: 
a. Khi m = 2, phương trỡnh (1) trở thành 22 2 1 1x x x+ - = - 
2 2
1
2 2 1 2 1
x
x x x x
³ỡùÛ ớ
+ - = - +ùợ
2
1
4 2 0
x
x x
³ỡùÛ ớ
+ - =ùợ
2 6 1
2 6 1
x
x
ộ = - + <
Û ờ
= - - <ờở
 (khụng thoả món 
điều kiện. Vậy phương trỡnh vụ nghiệm. 
b. Phương trỡnh (1) 
2 2
1
2 1 2 1
x
x mx x x
³ỡùÛ ớ
+ - = - +ùợ ( ) ( )2
1
2 2 0 
x
x m x *
³ỡùÛ ớ
+ + - =ùợ
Đặt x – 1 = t (t³ 0), (*) trở thành ( )2 4 1 0t m t m+ + + + = 
Yờu cầu bài toỏn trở thành, tỡm m để phương trỡnh ( )2 4 1 0t m t m+ + + + = cú nghiệm duy 
nhất t³ 0. 
Ta cú ( )2Δ 2 8 0m , m= + + > " . Vậy phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt. 
Xột hai trường hợp: 
TH1: Phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt trỏi dấu 0PÛ < 1 0 1m mÛ + < Û < - 
TH2: Phương trỡnh cú 2 nghiệm, trong đú cú 1 nghiệm bằng 0, nghiệm cũn lại là nghiệm õm. 
0 1
0 4
P m
S m
= = -ỡ ỡ
Û Ûớ ớ -ợ ợ
 . Vậy m = - 1 thoả món. 
Kết hợp 2 trường hợp trờn ta cú 1m Ê - . 
Bài 2 Ta cú 2 2 16 8 6x y x y+ + = + ( ) ( )2 24 3 9x yÛ - + - = 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiakụpxki cho 2 cặp số (x – 4; y – 3) và (4; 3), ta cú: 
( ) ( ) ( ) 224 3 25 4 4 3 3x y x y+ - = - + - Êộ ựở ỷ ( ) ( )
2 2 2 24 3 4 3 225x yộ ự ộ ự- + - + =ở ỷở ỷ 
4 3 25 15 15 4 3 25 15x y x yÛ + - Ê Û - Ê + - Ê 10 4 3 40x yÛ Ê + Ê 
Vậy Amax = 40 ( ) ( )2 2
4 3
324 3
54 3 9
24
4 3 40 5
x y
x
x y
yx y
- -ỡ =ù ỡ =ù ùù ù- + - = Ûớ ớ
ù ù =+ = ùù ợ
ùợ
Amin = -15 khi ( ) ( )2 2
4 3
84 3
54 3 9
6
4 3 10 5
x y
x
x y
yx y
- -ỡ =ù ỡ =ù ùù ù- + - = Ûớ ớ
ù ù =+ = ùù ợ
ùợ
Bài 3 Điều kiện : x , y , z ạ 0. 
Dễ thấy x, y, z cựng dấu. Ta xột trường hợp x, y, z > 0. 
Từ phương trỡnh 1 trong hệ, ỏp dụng cauchy ta cú 2 2x a x a³ Û ³ .Tương tự ta cú 
; y a z a³ ³ . 
Đặt ( ) af t t
t
= + với )t a;ộẻ +Ở . Ta chứng minh được f(t) là hàm đồng biến. 
Hệ phương trỡnh cú dạng 
( )
( )
( )
2
2
2
x f y
y f z
z f x
=ỡ
ù
=ớ
ù =ợ
. Giả sử x = max{x, y, z}, do f(t) đồng biến nờn ta cú f(x) 
³ f(y) ị 2z ³ 2x ị z³ x ị z = x. Tương tự ta suy ra x = y = z. 
 Vậy hệ cú nghiệm x y z a
x y z a
ộ = = =
ờ
= = = -ờở
Bài 4 Áp dụng cụng thức trung tuyến trong hai tam giỏc MAC và MBD, ta cú 
: 
2
2 2 22
2
AC
MA MC MO+ = + ; 
2
2 2 22
2
BD
MB MD MO+ = + 
Suy ra , 
2 2
2 2 2 2 24
2 2
BD AC
MA MC MB MD MO+ + + = + + = 
2 2
2 4 44
2
AO BO
r
+
+ = 2 2 2 24 2 4 2r AB r a+ = + . 
Mặt khỏc ta cú: 2
2
a
r = suy ra 
2
2 2 2 2 24 2
2 2
a
MA MC MB MD a
ổ ử+ + + = +ỗ ữ
ố ứ
=
25
2
a
Bài 5: Vỡ 0f ( x ) , x³ " ẻĂ suy ra a > 0 và 
2
2Δ 4 0
4
b
b ac c
a
= - Ê ị ³ . 
Với 0 0 suy ra M > 0. 
45
C
O
B
D
M
A
Đặt t = b – a > 0, ta cú 
( )
2
2 24 44
4
b
a ba b c a ab baM
b a b a a b a
+ ++ + + +
= ³ =
- - -
=
( ) ( )
( )
22 2 29 6 9 6
4 4
a a b a b a a at t
a b a at
+ - + - + +
=
-
 = = 
2 2 2 23 9 3 9 3 3
3
2 4 2 2 2 2
a t a t
at at
+
+ ³ + = + = 
Đẳng thức M = 3 đạt được khi 
2
4 04
3
b
c
hay b c aa
t b a a
ỡ
=ù = = >ớ
ù = - =ợ
-----------------HẾT--------------