Đề thi olympic lớp 6 Năm học 2012 - 2013 Môn thi : toán Thời gian làm bài : 120 phút

phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm ) Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau:
	1. 
	2. 
	3. | x | + x = 0
Cõu 2 ( 5 điểm )
Tỡm a, b là số tự nhiờn biết: 
Hai số tự nhiờn x và 2x đều cú tổng cỏc chữ số bằng y. 
 Chứng minh rằng: x chia hết cho 9.
Chứng minh rằng : 
Cõu 3 ( 3 điểm )
	Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú C chuyển đi làm việc khỏc, A cựng làm với B tiếp tục hoàn thành cụng việc cho đến xong. Hỏi A làm trong mấy giờ?
Cõu 4 ( 5 điểm )
	Cho: xoy = 1200, xoz = 500. Tớnh xom biết rằng om là tia phõn của gúc yoz.
Cõu 5 ( 1 điểm )
	Tỡm số tự nhiờn x biết tổng cỏc chữ số của x bằng y, tổng cỏc chữ số của y bằng z và x + y + z = 60.
__________________________________________________________
phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 7
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm )
	1. Tỡm x thỏa món một trong cỏc điều kiện sau :
	a, 
	b, , | x – 5 | = 5- x 
	2. Chứng minh đa thức x2 + 2x + 2 khụng cú nghiệm.
Cõu 2 ( 4 điểm )
	Cho: . Chứng minh: 
	a, 	b, 	c, 
Cõu 3 ( 4 điểm )
Chứng minh rằng với mọi a,b Q ta cú : | a + b | ≤ | a | + | b |
So sỏnh 12723 và 51318
Cõu 4 ( 5 điểm )
	Cho tam giỏc ABC vuụng ở C, đường cao CD. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc ACD và DCB cắt cạnh huyền AB theo thứ tự ở K và M.
	a, Chứng minh: ∆ ACM cõn.
	b, Chứng minh điểm cỏch đều 3 đỉnh của ∆KCM thỡ cũng cỏch đều ba cạnh của ∆ABC.
Cõu 5 ( 1 điểm )
	Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết :
	 và af – be = 1
	Chứng minh : d ≥ b + f
__________________________________________________________
phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 8
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 điểm ) 
Giải phương trỡnh: 
a, | 2x - 3 | = - x + 21
b, 9x2 + 6x – 8 = 0 
2. Chứng minh bất đẳng thức 
Cõu 2 ( 5 điểm ) 
	1. Tỡm cỏc hằng số a, b để :
 x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – 2 với mọi x є Q.
 	2. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn 
	x2 +2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
Cõu 3 ( 2 điểm ) 
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của :
	A= a3 + b3 + c3 biết a, b, c lớn hơn -1 và a2 + b2 + c2 = 12
Cõu 4 ( 7 điểm )
	Cho tam giỏc ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong của tam giỏc đú. Đường thẳng qua P và vuụng gúc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
	a, ∆ AMP ~ ∆ APB
	b, 
	c, BC . AP2 + CA. BP2 + AB. CP2 = AB . BC. CA
__________________________________________________________
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán Lớp 6
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(6 điểm)
1. 
 -> x = -1
2. 
 -> x= - 1
3. / x / = -x -> x 0
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
2,0đ.
Cõu 2
(5 điểm)
1. 
 -> b( 3a - 2 ) = 30
 -> 3a – 2 Ư(30)
 Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10
 -> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30).
2. Do 1 số và tổng cỏc chữ số của nú cú cựng số dư trong phộp chia cho 9. Do đú hiệu của chỳng chia hết cho 9
 Ta cú 2x – y 9 và x – y x
 => ( 2x – y ) – ( x – y) 9
 -> x 9
3. S = 
 = 
 = 
 Do 
 = 
 -> S < 
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Cõu 3
(3 điểm)
 Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được , , , B và C làm được 
 2 giờ B và C làm được 
 A và B làm được 
 1 giờ A và B cựng làm được: 
 Thời gian A cựng làm với B là: giờ. 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Cõu 4
(5 điểm)
2 trường hợp :
a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ ox
 xoz = 500 oz nằm giữa ox và oy.
 yoz = xoy – xoz = 1200 – 500 = 700
 zom = = 350
 xom = xoz + zom =500+ 350 = 850
b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox.
 Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz.
 yoz = 1200 + 500 = 1700
 zom = 850
 xom = 850 – 500 = 300 
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ
Cõu 5
(1 điểm)
Từ đầu bài ta cú x là số cú 2 chữ số. Đặt x = 
x = 10a + b -> y = a + b, z cú 2 trường hợp :
* Nếu y = a + b 9 -> z = a + b ta cú :
 ( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
 b 4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b 10 -> z = a + b – 9
 Ta cú : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60
 -> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7
 -> = 44, 47, 50.
0,5đ.
0,5đ.
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán Lớp 7
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(6 điểm)
1. a, ( 2x + 3)2 = 
 => x = hoặc x= 
 b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 )
 x – 5 ≤ 0 x ≤ 5
 2. x2 + 2x + 2 = x2 + x + x +1 + 1
 = (x + 1)2 + 1 > 0 -> đpcm
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Cõu 2
(4 điểm)
 Chứng minh cõu a, cõu b mỗi cõu cho 1 điểm
 c, -> 
 => 
2,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Cõu 3
(4 điểm)
1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b
 Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q )
 -> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1)
 b, Nếu a + b | a+b | = - a – b
 mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
 -> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2)
 Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra ú ab ≥ 0
2. 12723 < 12823 = (27)23 = 2161
 51318 > 51218 = (29)18 = 2162 -> 51318 > 12723
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Cõu 4
(5 điểm)
1, AMC = , ACM = ACD + 
 Do = , = ACD -> ACM = AMC
 -> ∆ACM cõn.
2. CM tương tự ta cú BC = 8K.
 Vậy đường thẳng chứa tia phõn giỏc của gúc A cũng là đường trung trực của CM. 
 Và đường thẳng chứa tia phõn giỏc của gúc B cũng là trung trực của CK.
 => Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trựng với giao điểm 3 đường phõn giỏc của ∆ABC -> đpcm
2,5đ.
2,5đ.
Cõu 5
(1 điểm)
 d = d( af – be ) = adf – bed
 = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed )
 = f( ad – bc ) + b ( cd – ed )
 ≥ f.1 + b.1 = f + b
0,5đ.
0,5đ.
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán Lớp 8
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(6 điểm)
1. a, | 2x -3 | = - x + 21
 x = 8 , x = - 18 
 b, 9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8 
 = ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0
 -> x = , x = 
 2. Xột hiệu : 
 Do x2 - x + 1 > 0 -> -> đpcm
2,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Cõu 2
(5 điểm)
1. x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b = ( x2 – x – 2). Q(x) "(x)
 = ( x + 1)(x – 2 ). Qx
 Với x = -1 cú: -a + b = -31
 x = 2 cú: 2a + b = - 28
 -> a = 1, b= -30
2. Pt ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3. ( -1)
Xột 4 trường hợp ta cú :
 (x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3) 
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,5đ.
1,0đ.
Cõu 3
(2 điểm)
( a3 +1) - 3(a2 – 1) = (a + 1)( a2 – a + 1) – 3( a - 1)( a +1)
= ... = ( a + 1)( a – 2)2 ≥ 0 ( do a > - 1 )
-> a3 – 3a2 ≥ - 4 , tương tự b3 – 3b2 ≥ - 4, c3 – 3c2 ≥ - 4
-> ( a3 + b3 + c3 ) – 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ - 12
-> B – 36 ≥ -12
-> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 a = b = c= 2
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Cõu 4
(7 điểm)
a, AMP = 900 + 
 APB = 900 + 
 BNP = 900 + 
 -> ∆ AMP ~ ∆ APB
b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB
 => ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB
 => => 
 => ( do MP = NP )
c, Do ∆AMP ~ ∆PNB => 
 => AM.NB = MP.PN = MP2
 => AM.NP = CM2 – CP2 = ( CA–AM )(CB–BN ) – CP2
 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2
 => AM.CB + BN.CA+ CP2 = CA.CB
 => AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2.AB = AB.BC.CA (1)
 Từ cõu (b) cú : -> AM.AB = AP2 (2)
 -> BN.AB = BP2 (3)
 Từ (1), (2), (3) ->đpcm 
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.